単語記事: ≡

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• 幾何学における合同
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≡とは、数学において合同であることを表す記号である。

概要

合同という概念は、幾何学や整数論に登場する。幾何学と整数論では合同の定義はちがうが、どちらもこの記号を使う。一般にAとBが合同であるとき、A≡Bと書き表す。

幾何学における合同

2つの図形が全く同じ形であることを意味する。日本の教育では小学校の算数で初出。但し、≡という記号を使うのは中学からである。片方の図形をスライド、回転、鏡に映す、この操作を有限回行ってもう片方の図形にぴったり重ねることができるとき、2つの図形は合同であるという。「鏡に映す」を「裏返す」と習った人もいるかもしれないが、その言葉が通用するのは図形が平面上にある場合のみである。3次元の図形は、裏返しても回転するだけで、鏡像にはならない。

三角形の合同条件

合同というとこれを連想する方も多いだろう。2つの三角形に対し、次のいずれかが成り立てば合同である。

• 3辺の長さがそれぞれ等しい
• 2辺とその間の角がそれぞれ等しい
• 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

小学校時代に覚えさせられ、中学校時代に証明問題で書かされた合同条件、思い出せたかな?

整数論における合同

2つの整数をそれぞれ同じ数で割ったとき、余りが同じであることを意味する。日本では大学でやっと初出。2つの整数a,bと自然数nに対し、a-bがnの倍数であるとき、a≡b (mod n)と書き表す。これはaとbをそれぞれnで割ったとき、余りが等しいことと同値である。≡は整数の余りに関する問題を簡潔に書き表すことができるため、優れた記号と言われている。優れた記号は問題を一気に解決するとまで言われており、≡はその主たる例として挙げられる。

性質

a≡b (mod n)が成り立つとき、任意の整数c、任意の自然数mについて次が成り立つ。

• a+c≡b+c (mod n)
• ac≡bc (mod n)
• a^m≡b^m (mod n)

第1式と第2式は定義からすぐにわかり、第3式は第2式に数学的帰納法を用いることで示すことができる。さらに、ここから次のことが導ける。

a≡b (mod n)かつc≡d (mod n)ならば、次が成り立つ。

• a+c≡b+d (mod n)
• ac≡bd (mod n)

このように、≡は和と積に対して=のような振舞い方をするのである。

関連項目

• 数学
• フェルマーの小定理
• RSA暗号

ページ番号: 4190239 リビジョン番号: 486104
読み：ゴウドウ
初版作成日: 09/10/25 23:10 ◆ 最終更新日: 09/10/25 23:10
編集内容についての説明/コメント: なかったので作りました。
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