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とは、数学において合同であることを表す記号である。

概要

合同という概念は、幾何学整数論に登場する。幾何学整数論では合同の定義はちがうが、どちらもこの記号を使う。一般にAとBが合同であるとき、ABと書き表す。

幾何学における合同

2つの図形が全く同じ形であることを意味する。日本教育では小学校算数で初出。但し、という記号を使うのは中学からである。片方の図形をスライド、回転、に映す、この操作を有限回行ってもう片方の図形にぴったり重ねることができるとき、2つの図形は合同であるという。「に映す」を「裏返す」と習った人もいるかもしれないが、その言葉が通用するのは図形が面上にある場合のみである。3次元の図形は、裏返しても回転するだけで、像にはならない。

三角形の合同条件

合同というとこれを連想する方も多いだろう。2つの三角形に対し、次のいずれかが成り立てば合同である。

  • 3辺の長さがそれぞれ等しい(三辺相等)
  • 2辺とその間のがそれぞれ等しい(二辺夾相等)
  • 1辺とその両端のがそれぞれ等しい(夾辺相等)

小学校時代に覚えさせられ、中学校時代に明問題で書かされた合同条件、思い出せたかな?

整数論における合同

2つの整数をそれぞれ同じ数で割ったとき、余りが同じであることを意味する。日本では大学でやっと初出。2つの整数a,bと自然数nに対し、a-bがnの倍数であるとき、ab (mod n)と書き表す。これはaとbをそれぞれnで割ったとき、余りが等しいことと同値である。整数余りに関する問題を簡潔に書き表すことができるため、優れた記号と言われている。優れた記号は問題を一気に解決するとまで言われており、はそのたる例として挙げられる。

性質

ab (mod n)が成り立つとき、任意の整数c、任意の自然数mについて次が成り立つ。

第1式と第2式は定義からすぐにわかり、第3式は第2式に数学的帰納法を用いることで示すことができる。さらに、ここから次のことが導ける。

ab (mod n)かつcd (mod n)ならば、次が成り立つ。

このように、は和と積に対して=のような振舞い方をするのである。

また自然数kとnが互いに素である場合、

が成り立つ。

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初版作成日: 09/10/25 23:10 ◆ 最終更新日: 13/06/22 05:56
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1 : ななしのよっしん :2009/11/16(月) 20:31:48 ID: 6MEL6libPB
三角形合同整数合同。どうして意味は違うのに同じ用なんだろう
2 : ななしのよっしん :2010/03/23(火) 16:21:08 ID: m/sNJFcM2P
>第3式は第2式に数学的帰納法を用いることで示すことができる
そーなのかー
の頭が悪いせいで2式から「数学的帰納法で」3式を明することが出来ないorz


・・・まぁ二項定理を使って明できたから良いけどね
3 : ななしのよっしん :2010/05/09(日) 11:24:07 ID: zA44sBRJfl
>>2
ab,a^mb^m (mod n)を仮定
abより、a*a^mb*a^m (mod n)
a^mb^mより、a^m*bb^m*b (mod n)
a^(m+1)b^(m+1) (mod n)

が同値関係なのを前提としていますが。
4 : ななしのよっしん :2013/01/08(火) 19:41:34 ID: uaGnk5KmJC
(  )
5 : ななしのよっしん :2013/01/09(水) 04:33:37 ID: zA44sBRJfl
除法の条件おかしくないか?
kとnが互いに素でない場合でも、
例えば84 (mod 2)かつ42 (mod 2)が成り立つわけだけど。
6 : ななしのよっしん :2013/01/31(木) 16:24:42 ID: /AiY1YOjiM
>>5
P⇒Qがであると言われている時、
Pの否定⇒Qがだったしても何もおかしいことはない。

例えば、
明日気が晴れサッカーの試合をやる」と約束されていた時、
明日になって、その当日気がだったけどサッカーの試合をした」はをついたこと(つまりこの命題は偽だということ)にならないの。

明日気が晴れ」だった場合のみこ命題は意味を持つのであって、「明日気が」だった場合にはこの命題は何も拘束はなくなるわけ。
この命題だと「明日気が晴れだったのにサッカーの試合をやらなかった」時にのみをついた、つまり"偽"になる。
7 : ななしのよっしん :2013/01/31(木) 23:56:08 ID: zA44sBRJfl
>>6
いや、おかしくないかってのは以前の版の話。
今は編集されて善されたけど、
昔は「互いに素である場合に限り」って書いてあったの。
8 : ななしのよっしん :2014/01/17(金) 21:43:39 ID: +0fEWtCuzz
三 Ξ 
9 : ななしのよっしん :2015/05/21(木) 13:28:59 ID: IDxugTUvYS
もうちょっとわかりやすくせつめいしてくれ
10 : ななしのよっしん :2016/09/25(日) 22:49:04 ID: 1v4N1N4s2N
-=´・ω・`)
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