単語記事: オイラーの等式

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オイラーの等式とは、eiπ+1=0である。

大きく書くと

eiπ+1=0

となる。eはネイピア数を表し、iは虚数単位を表し、π円周率を表す。1と0は日常生活でよく見かける1と0のそのものである。

概要

オイラーの公式が綺麗な形になった間である。

2003年に出版された『博士の愛した数式』にも登場する式。しかし、日常生活を送る上では、まず使わないし、何の役にも立たない式である。

この等式の凄いところ

数学の基本的な定数である e i π 1 0 がそれぞれ1回ずつ登場して完結しているところ。やたら形がシンプルであるところ。そのため、いかにこの式が美しくて凄いのか、数学マニアらせるとやたら長くなることがある。

この式は、あれこれ難しく考えてきたことの結果が、実はこんな簡単に表現できるのでした、という例の最たるものといえる。

ちなみに、円周率π(円周の直径に対する)の代わりにτ(円周の半径に対する)という概念を導入すると、eiτ=1とさらに簡素に表現できる。

オイラーの公式

指数関数ex=exp(x)は虚数単位iを通して三角関数cos(x)およびsin(x)で表現できる。

eix=cos(x)+isin(x)

これをオイラーの公式と呼ぶ。オイラーの公式πを代入したものがオイラーの等式となる。
逆にいうとオイラーの等式一般化したものがオイラーの公式である。
微分方程式を駆使する分野で頻出し、指数関数三角関数を結ぶ重要な公式として重宝される。
日常的に使う人は少数だが、この記事の読者の使っている箱を設計する過程で避けては通れないとっても大事な公式なのだ。

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読み:オイラーノトウシキ
初版作成日: 09/12/05 09:06 ◆ 最終更新日: 18/06/19 04:00
編集内容についての説明/コメント: オイラーの公式を追加
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オイラーの等式について語るスレ

69 : ななしのよっしん :2017/07/07(金) 05:27:57 ID: 7VKtUBsi6z
e^(iπ)=-1は,簡潔にその本質を表す美しさを持つ。
e^(iπ)+1=0は,上式の右辺を移項した物に過ぎない。
数学センス々」という輩が大好きな言葉である,“明らか”な関係ではないか。
こんな自明かつ項が増えただけの代物をありがたがる美的センス理解出来ない

なんて感じちゃったりする工学屋。
でも,代数屋は確かに下式の方が好きなんだろうね。
70 : ななしのよっしん :2017/07/07(金) 05:42:42 ID: XPt6sVGNMS
コピペかと思った
71 : ななしのよっしん :2017/07/19(水) 08:11:32 ID: 7VKtUBsi6z
そーいや
 e^iπ=-1
って略記したら,放屁してるみたいと言われたり,
果てはヘンタイ扱いされたことある(何を思い浮かべたのだろう)
72 : ななしのよっしん :2017/10/03(火) 19:43:20 ID: xtDCTCVx9O
>>42-43でも触れられてるけどτ=2πを使った方が=-1や=0よりかに綺麗なんだよなぁ…
πスタンダードにしてしまった数学者、無能!w
73 : ななしのよっしん :2017/10/08(日) 18:08:46 ID: PhUkgxt2/p
e^(iπ)+1=0の形になってるのは、単にオイラーが負の数を認めてなかったからじゃないの
74 : ななしのよっしん :2017/12/14(木) 04:56:37 ID: 7VKtUBsi6z
>>72
πスタンダードになったのは,単純に「円の周長とその径(=直径)の率」だからであって,
「円の周長とその半径の率」即ちτ=2πと定義できても,
例えばある円柱の計測において,周長と径は測ったそのままの値で,半径に換算するだけ駄だろ。

e^iπ=-1を見てからe^iτ=1という式を見ると,確かに簡素化されたような錯覚に陥るが,
実のところ,だからどうした?としか考えられない。

なぜならば,e^iθにおいてθ=0のとき1,θ=πのとき-1という,
オイラーの公式における回転を極めて簡潔に示しているのが,
e^iπ=-1だからだ。

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
75 : ななしのよっしん :2018/02/04(日) 15:56:54 ID: 0AUsjv/eLX
オイラーの等式ではなくオイラーの公式について書き込みしたい。
76 : ななしのよっしん :2018/04/10(火) 19:02:13 ID: zu8Qo++1RA
>>74
円とは中心から等距離の点の集合でできた曲線である、ということを考えれば、
計測上計算上は便利なπよりも半径と円周のτを使う方が直感的で自然だとも考えられる。
決して式を綺麗にしようとして理やりπを2倍にするって訳じゃない。

iとeに議論の余地はないが円周率πτかは決めの問題だろう。
77 : ななしのよっしん :2018/06/19(火) 02:45:03 ID: 7VKtUBsi6z
>>76
だから円という定義についてはあとからそうなっただけで,
円周率ってのは「周と径の」でしかない。
直観的か直感的だか自然だか言うのは所詮アナタの主観にすぎない。
ずっと定義が変更されず,τを導入して普及させようとしてもほとんど相手にされていない。それが現実
どれだけ同じを繰り返しても駄。
78 : ななしのよっしん :2018/06/19(火) 03:07:35 ID: KwdTPGWcWk
一ヵ所変えりゃええやんといってもその一ヵ所が大な数の定理や公式と結びついてるから今更変えようがないというのもある
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