単語記事: フーリエ変換

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 フーリエ変換とは、数の流れを別な方法で表現するための変換方法のひとつである。

厳密ではない概要

 フーリエ変換とは関数の表現方法をある別な方法にする変換のことである。

 例えば、関数というのは線グラフのことをすとする。このとき、線グラフは数の変化を結んだ線で表される。つまり、このグラフはそれぞれの数が分かっている上で描かれることになる。

 このとき、この線グラフの流れを関数としてフーリエ変換を行うと、その変換後のグラフはそれぞれの数が分からなくても、この線グラフ(に限りなく近い線グラフ)を描くことができる。

 フーリエ変換後の関数では、その線グラフのそれぞれの数を情報として持つのではなく、数の動きを作り出す単純な波の動き具合を情報として持つ。

 例えば、「これくらいの大きさの波Aと別な大きさの波Bと、さらに別な大きさの波Cを足し算した波のグラフの一部が元々の線グラフに似ているから、この線グラフは波A+波B+波Cって事でいいんじゃね?」と言うのがフーリエ変換である。

ちょっと詳しい概要

1個以上の実数または複素数の組であるベクトルを標準基底という物の足し算で表現する方法がある。
例えばn次元ベクトルa=(a[0],a[1],…a[n-1])があるとする。これに対し標準基底e0=(1,0,…,0), e1=(0,1,…,0),…, en-1=(0,0,…,1)を用意すると、a=a[0]e0+a[1]e1+,…,+a[n-1]en-1と書ける。ここからekにはベクトルaからk番の要素を取り出す作用があることを推察することができる。この考えを一般の基底にも適用できないか?と考えたのがフーリエ変換の出発点である。

一般化離散フーリエ変換

n個のベクトルの組v0,v1,…,vn-1で、内積〈vj,vk〉の値が0(j≠kの時)または 1(j=kの時)を満たすものを正規直交基底と呼び、正規直交基底で任意のn次元ベクトルaを展開することができる。具体的にはa=〈a,v0〉v0+,…,〈a,vn-1〉vn-1である。これを基底vによる一般化フーリエ展開、〈a,vk〉を一般化フーリエ係数と呼ぶ。
a[m]=Σk〈a,vk〉vk[m]=Σk(Σμa[μ]vk[μ])vk[m] と変形できる。(vk[μ]はvk[μ]の複素共役)ここでさらにTv(a)[m]=〈a,vk〉=Σμa[μ]vm[μ]、T-1v(a)[μ]=Σka[k]vk[μ] と置き、aにTv(a)=(Tv(a)[0],…,Tv(a)[n-1])を対応させる写像をTv、aにT-1v(a)=(T-1v(a)[0],…,T-1v(a)[n-1])を対応させる写像をT-1vと考える。このように定義すると、T-1v(Tv(a))=a、Tv(T-1v(a))=aとなっていることが確認できる。この写像はn×nの正方行列によるユニタリ変換と同一視できる。Tvはaの標準基底による表現からvによる表現へ変換しているとも読み取ることができる。

ようするに、正規直交基底v0,…,vn-1を使って、aをTv(a)に変換してやる操作を一般化離散フーリエ変換と呼び、Tv(a)をaに逆変換してやる操作を一般化逆離散フーリエ変換と呼ぶのである。

最も簡単な例として二次元の基底{(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2) }を考える。これは正規直行基底を成しており、(5,2)をこの基底でフーリエ変換すると(7/√2,3/√2)となる。

計算の利便性からTv定数倍することがある。

N点離散フーリエ変換

k,n∈{0,1,…,N-1}とし、
S
k=(N-1/2sin(2πik/N), … ,N-1/2sin(2πikn/N), … , N-1/2sin(2πi(k(N-1)/N))
Ck=(N-1/2cos(2πik/N), … ,N-1/2cos(2πikn/N), … , N-1/2cos(2πi(k(N-1)/N))
つまりk番ベクトルSk、Ckの第n成分Sk[n]、Ck[n]がそれぞれN-1/2sin(2πikn/N)、N-1/2cos(2πikn/N)となるようにSk、Ck構成するとこのベクトルの組は正規直交基底となる。これを実フーリエ基底と呼ぶ。しかし、一つのベクトルを展開するのに2種類の基底が必要となるので扱いが煩雑になる。そこで、exp(x)=cos(x)+isin(x)の関係を使う。

a,bを実数、k,n∈{0,1,…,N-1}とし、
Ek=(N-1/2exp(2πi(k+a)(0+b)/N), … ,N-1/2exp(2πi(k+a)(n+b)/N), … , N-1/2exp(2πi(k+a)(N-1+b)/N))
つまりk番ベクトルEkの第n成分Ek[n]がN-1/2exp(2πi(k+a)(n+b)/N)となるようにE0,E1,…,EN-1を構成するとこのベクトルの組は正規直交基底となる。これを一般化フーリエ基底と呼ぶ。
Ekに関する直交変換TEをN1/2倍したものをFと置いたものを一般化離散フーリエ変換、その逆変換T-1EをN-1/2倍したものをF-1と置いたものを一般化逆離散フーリエ変換と呼び、a=b=0のものを特にN点離散フーリエ変換と呼ぶ。離散フーリエ変換はその名の通り関数フーリエ基底を離散化したものとなっている。コンピューター上でデータを扱う場合は大抵は離散的なデータであるので、離散フーリエ変換が活躍する。

離散コサイン変換

離散フーリエ変換では複素指数関数を使うことで1種類の基底で表現できるようになるが、変換の対となるベクトルが実ベクトルであっても必ず複素数が現れるので実数データを扱う上で不便である。そこで活用されるのが指数関数の実部である余弦成分だけを取り出した変換、離散コサイン変換(DCT)である。v0[n]=N-1/2、Vk[n]=(2/N)1/2cos(πk(2n+1)/2N)とすると正規直交基底となっている。用途により他の取り方が有用になる場合もある。余弦関数展開では偶関数しか展開できないが、元の像の像を作って偶関数化し展開できるようにしている。
jpegの画像圧縮はこの基底を二次元配列化したDCT-というものが使用されている。画像→DCT→周波数データ→逆DCT→元の画像、の過程で周波数データの高周波部分をカットしているため非可逆圧縮である。

離散コサイン基底に由来する特徴的なノイズ映像に入り込みUFOと勘違いされた例が過去にあるとかないとか。

周期関数のフーリエ展開

関数集合に和とスカラー倍を導入するとベクトル間になるので、原理的には周期関数フーリエ変換は離散ベクトルの連続化として考えることができる。
周期2Lの関数f(x)、g(x)に対し、〈f,g〉=∫f(x)g(x)dxは内積の性質を持つ。|f|2=〈f,f〉が有限であるものを二乗可積分関数と呼ぶが、この性質を持つ関数についてフーリエ展開が可である。
定義域が[-L,L)の関数の場合、基底関数exp(iπkx/L) (kは整数全体)と置くと、

CkL=(1/2L)∫f(y)exp(ーiπky/L)dy  f(x)=Σk(CkLexp(iπkx/L))

であらわされる。CkLを複素フーリエ係数と呼ぶ。exp(iπkx/L)=cos(πkx/L)+isin(πkx/L)なので、必要であれば三角関数で展開することも可である。離散フーリエ変換の場合と同様で、基底が二種類必要になるがcos(πkx/L)とsin(πkx/L)で展開すると現れる係数がすべて実数になる。ただしこの式からわかるように、連続関数を加算限個の関数で展開しているため連続の点で定義されている連続関数へ変換することはできない。
フーリエ展開は関数の周波数展開とみなせるので、音映像ノイズ疑似的に周期関数とみなすことでその周波数成分の解析を行うことができる。また、データの周波数解析だけでなく交流回路や熱伝搬のような物理に関する微分方程式とも密接に関係している。特に複素指数関数量子力学の分野で頻出し、原理的にフーリエ変換と相性が良い。たとえば結晶中の電子の波動関数面波展開や固有エネルギー運動間表示などに応用されている。

一般の関数のフーリエ変換

有界な区間またはそれらを周期的に配置した関数に対して定義されていたが、周期を限大に拡大した物、つまり実数全体で定義された関数についてのフーリエ展開を考えることができる。
上式の係数についてπ/L=Δξξk=kπ/Lと置き、L→に持っていく。

CkL=Σk((1/2L)∫f(y)exp(-iπky/L)dyexp(iπkx/L))=(1/2π)Σk(∫f(y)exp(-iξky)dy)exp(iξkx)Δξ

リーマン積分の定義から、f(x)=(1/2π)∫(∫f(y)exp(-iξy)dy)exp(iξx)dx となる。
離散フーリエ変換と同様に、xの関数fをξ関数へ変換する写像Fを考えることができる。まとめると、

F[f](ξ)=∫f(x)exp(-iξx)dx 
F-1[f](x)=(1/2π)∫f(ξ)exp(iξx)dξ

こちらもF-1[F[f]](x)=f(x)、F[F-1[f]](x)=f(x)の関係を持つ。


関数exp(-x2/2)はフーリエ変換を作用させると定数倍になるという特徴がある。
定数関数1はフーリエ変換するとδ関数で表現することができる。

注意

関数フーリエ変換に関して、以上の解説では数学的に厳密な条件を視して形式的に説明を進めた。応用上は離散的なデータを扱う事が多いためそれほど厳密な議論を必要とせず、考察の対になる関数については大抵の場合、明らかな物を除いてフーリエ変換である。しかし以上の定義だけではフーリエ変換を施した関数が元の関数間と同じ関数間に属するとは限らない。変換前後で積分性や収束発散、連続性といった性質を維持する保を得るために関数に急減少のような特別な性質を課す必要が出てくる。ルベーグ可積分関数は多くの場合にフーリエ変換だが、ある種のルベーグ可測関数に変換を施すと定義域上至る所で発散するという例もある。
どのような条件の時にフーリエ変換が可か、二乗可積分でない関数限遠で発散する関数フーリエ変換をどう定義するか、と言った内容を深く考察するには線形汎関数関数という関数よりさらに広いクラスでの議論が不可欠となる。

発表者のフーリエさんはそこまで考えておらず、あらゆる関数三角関数による展開が可していたらしい。しかし、数学的にも応用的にも非常に興味深い対であったため、後世の数学者たちの刺となり数学界を大いに発展させたのは事実である。

複素指数関数微分行移動などの演算子との相性が良く、フーリエ基底に採用することで畳み込みなどの計算を簡単にすることができる。従って実用の面では使い勝手が良い複素指数関数に用いられるが、フーリエ変換の基底には正規直交性だけを要しているので三角関数や複素指数関数に限らなくてもよい。有限区間の例であれば、1,x,x2,…,xn,…にグラムシュミットの正規直交化を施してやることでルジャンドル多項式になり、それを広義のフーリエ基底とみなせる。

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ページ番号: 2516275 リビジョン番号: 2565059
読み:フーリエヘンカン
初版作成日: 09/03/23 19:28 ◆ 最終更新日: 18/02/23 23:55
編集内容についての説明/コメント: 例を追加、実フーリエ展開を追加
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フーリエ変換について語るスレ

23 : ななしのよっしん :2013/06/15(土) 13:47:52 ID: Q+TPxchuOG
時間領域から周波数領域に写像を取るのがフーリエ変換で、その逆がフーリエ逆変換だという認識で居るが。

ラプラス変換は時間領域から複素面(s領域)への写像で、s=jωフーリエ変換の周波数領域に表現を変更できるという認識で居る。

操作しやすい間に移す便利な写像だ。
24 : ななしのよっしん :2013/06/15(土) 14:01:09 ID: Q+TPxchuOG
直交関数系(基底)により構成される1本のベクトルのようなものがフーリエ級数ね。(単位ベクトル三角関数に変更しただけ)
各基底に掛かっている係数により波形が決まってくる。

三角関数同士の内積を取れば分かるけど、周波数が違えば必ず0になるし、同じなら1になる。(周波数の異なる三角関数は線形独立である)

ベクトルや内積など、線形代数やベクトル解析と密接な関わりを持っているから、そこを勉強してからの方が深く理解できる。
25 : ななしのよっしん :2013/06/15(土) 14:03:20 ID: Q+TPxchuOG
マセマシリーズがオススメでつ。
26 : ななしのよっしん :2013/06/15(土) 14:25:19 ID: Q+TPxchuOG
プレミアム会員の方にお願いしたいのですが、下記の文を「より厳密な概要」として記事に追加してもらえませんか?

正規直交関数系(基底に相当){sinx, cosx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x, ...}により構成されるベクトルのような物がフーリエ級数である。各三角関数の内積を取ると、同じ三角関数では1,違う三角関数では0になる。ここから、各三角関数が直交しているということが確認できる。論、各三角関数は線形独立である。

任意の関数を正規直交関数系の線形結合で表したものがフーリエ級数である。



フーリエ変換は時間領域で表現された関数を周波数領域の表現に変更する写像である。

工学部においてセットで学習することの多いラプラス変換を並べて較すると、

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
27 : ななしのよっしん :2013/08/18(日) 11:45:01 ID: QloLZDvfOw
フーリエ変換よくわからないんですけどこれって関数のことなんですか?
ある動画フーリエ変換したくなるほどきれいな音ってコメントがあったから
音楽に関することかと思っていました。
28 : ななしのよっしん :2013/08/29(木) 21:24:56 ID: F//xKEMenN
>>27
フーリエ変換数学の計算の一つで>>26のこと。
この計算術を音波や電波などの波の現に使うとそのまま波を処理するより簡単になる。

たとえば音楽分野では、マイクは音波を拾えるけど時間かけて拾うしかない。
だけど拾った音をフーリエ変換すると周波数ごとの音の強さで表せられる。
この状態で処理してきれいにすると、もとに戻してもきれいな音になる。

一例:の鳴き(周波数;)とDQNの鳴き(周波数;D,Q,N)が混じった音が拾えました。これのの鳴きを取り出したいとき・・・
拾った音=a*cos()+b*cos(D)+c*cos(Q)+d*cos(N)
方法1:DQNb*cos(D)+c*cos(Q)+d*cos(N)を作って引き算する!
方法2:拾ったフーリエ変換してa,b,c,dの各周波数の強さを出す
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
29 : ななしのよっしん :2013/11/21(木) 18:24:21 ID: Q+TPxchuOG
関数ヒルベルト間(次元間)の1点を表す位置ベクトルであり、
フーリエ変換とは、ヒルベルト間内における2本の位置ベクトル同士の間で定義される写像なんだよね。

ここらへんは線形代数の写像と似てる。
30 : ななしのよっしん :2014/04/01(火) 02:21:39 ID: t0KEmE8zsL
厳密には時間領域←→周波数領域に限らない
あとラプラス変換のsはs=σ+jωだよ(ただしjは√-1)
σがないと以下略
31 : ななしのよっしん :2014/04/06(日) 11:58:10 ID: aF7pTL7gSi
これ、最初はフーリエ変換の説明だけど、途中からフーリエ級数展開の説明になってる希ガス
フーリエ変換は、周波数ξの波に対して変換前の関数がどれほど近いかを返す、ξ関数って言った方が適切だと思う。
32 : ディケイド☆セツナ :2015/10/24(土) 22:57:07 ID: vQfQJcVa0v
つまりこの考え方がいと
高音質音楽が聴けなくなる」
う事か。
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