ラッセルのパラドックス単語

ラッセルノパラドックス
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ラッセル(Russell)のパラドックスとは、20世紀の数学者バートランド・ラッセルが考えたパラドックスである。

概要

ニコ厨のあなたは、ニコニコ大百科に新しい記事を作ろうとしていた。
あなたが作ろうとしている記事は、次の二つだ。

記事A:記事の中に自分自身へのリンクがある記事の一覧
記事B:記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧

記事Aには多くの記事が当てはまる。例えば「ニコニコ動画」という記事には、本文中に「ニコニコ動画」という言葉があるため、記事の中に自分自身へのリンクが存在する。したがって、記事Aの一覧の中に入る。
一方、記事Bにも多くの記事が当てはまる。概要すら満足に書かれていない立て逃げされた記事や、リダイレクト用の記事などだ。

ニコニコ大百科に存在するすべての記事は、AとBのどちらかに属するはずである。つまり、この二つの一覧をあわせれば、ニコニコ大百科の全記事を網羅できる。

あなたは速、この膨大な作業に取り掛かった。長い日を、あなたはこの一覧の作成にげた。そしてついに、あなたは一覧完成の一歩手前までやってきた。
いまや、一覧に載っていない記事はたったの二つ――記事Aと、記事Bだけだ。あなたは、この二つも一覧に載せようとした。
記事Aは、記事Aに載せることにした。こうすれば、記事Aは「記事の中に自分自身へのリンクがある記事」になるので、記事Aの一覧の条件を満たすからだ。
次に、記事Bを一覧に入れようとして……あなたの手は止まった。

記事Bは、「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」だ。だから、記事Bを記事Bに載せることはできない。載せた間、記事Bは「記事の中に自分自身へのリンクがない記事」ではなくなってしまうからだ。
では、記事Aだろうか? だがそれもおかしい。記事Bには、「記事の中に自分自身へのリンクがない」から、記事Aには載せられない。

なんということだ! すべての記事は、記事Aか記事Bのどちらかに載るはずだ。しかし記事Bは、そのどちらにも、決して載せられないのだ!

数学的説明

上の説明で記事A、記事Bとしたものは、集合を意味する。それぞれの定義は以下の通りである。
集合A:自分自身を要素とする集合集合
集合B:自分自身を要素としない集合集合

集合Aには、例えば「要素の個数が無限である集合集合」が属する。要素の個数が無限である集合無限に存在するので、「要素の個数が無限である集合集合」もまた要素の個数が無限となり、「要素の個数が無限である集合集合」自身に属する。
一方、集合Bには、例えば「遊びの集合」が属する。「遊びの集合」は「集合」であって「遊び」ではないため、「遊びの集合」に「遊びの集合」自身は属さない。

すべての集合は、自分自身に属するか、属さないかの、どちらかである、つまり、すべての集合は、集合AかBのどちらか一方だけに属するはずである。
1)集合Aについて。
どちらでも良い――どちらかではあるが、どちらであるか、決めることはできない。どちらに属するとしても、矛盾はない。

2)集合Bについて。
仮に、集合Bが集合Bに属するとしよう。すると、集合Bは「自分自身を要素とする集合」になる。よって、集合Bは集合Aに属する集合となる。これは矛盾
反対に、集合Bが集合Aに属するとしよう。すると、集合Bは「自分自身を要素としない集合」になる。よって、集合Bは集合Bに属する集合となり矛盾する。

結局、集合Bは集合Aに属するとしても、集合Bに属するとしても、矛盾を来たす。
すべての集合集合AかBのどちらかに属するはずなのに、集合Bはそのどちらにも属さない。

数学への影響

数学史において、このパラドックスは重要な役割を担った。
一言で言えば、このパラドックスによって、数学の基礎が粉砕される事態となった。

ラッセルがこのパラドックスを発見した1900年頃とは、ヒルベルトが「ヒルベルトプログラム」を打ち立てるなど、数学の基礎を確立しようという動きが強まっていた時代であった。
そんな中、強武器として選ばれたのが論理であり、集合である。ド・モルガンやブール、フレーゲ、ペアノといった論理学者たちが、論理学における革新的な研究を行っていた。

論理集合は、切っても切れない関係で、「AならばBである」という論理は、「集合Aは集合Bの部分集合である(A⊆B)」という集合の言葉に書き換えられる。属すという言い方をするなら、Aの任意の要素aがBに属す(a∈B for a∈A)といえる。たとえば、「エビフライ揚げ物である」という論理は、エビフライ集合揚げ物集合の部分集合であるし、任意のエビフライ揚げ物(の集合)に属すともいえる。(任意なので、たとえばあなたが最近食べたエビフライでもいい)

さて、フリードリヒルートヴィヒ・ゴットロープ・フレーゲは1893年に、野心的な著書『算術の基本法則』を出版した。彼は算術(自然数法則)のあらゆる定理が、論理のみから導けると考えていた。もしそのことが明できれば、数学に強固な基礎を確立することができる。
そのためにフレーゲはまず、論理のみを使って自然数定義した。彼が使ったのは、「外延」という考え方だ。例えば自然数5を定義するには、対の個数が5であるすべての概念をかき集めれば良い。その概念集合が「数5」の定義となるとした。あなたの知っている5人組のグループや5つで1セットのものがいくつかあるかもしれないが、それらをかき集めるということ。

フレーゲはこのように、集合を使って算術の定理明しようと試みた。彼にとって、集合こそが算術の根幹を成していた(何しろ、集合によって自然数定義したのだから)。
さらにフレーゲは、論理集合の基本となる公理を用意した。その公理(正しい)とし、そこから明を始めるのだ。
ところがラッセルは、ここに矛盾を発見した。フレーゲの用意した公理から、上述したパラドックスが導けることを示してしまったのだ。
1902年6月16日ラッセルはこのことを手紙にしたため、フレーゲに送った。奇しくもそのときは、フレーゲが『算術の基本法則』第2巻を出版しようとしていたときであり、フレーゲは大きなショックを受けたという。

だが数学史において、パラドックスの発見は決して悲観すべき出来事ではない。むしろ、数学を次のステージへと進める足がかりになる。このパラドックスは、「集合とは何か?」という、それまでほとんど問われなかった問いを発したのだ。

パラドックスの解決

このパラドックスを解決したのは、ほかならぬラッセル自身である。ラッセルは、フレーゲの「算術のあらゆる定理論理のみから導く」という発想そのものは正しいと思っていた。そこでラッセルは、ある方法でパラドックスを解決した。

簡単に言えば、「集合Bは、実は集合ではない」というのが解決策である。集合ならば必ずAかBのいずれかに属するが、Bは集合ではないのだから、どちらにも属さなくても矛盾しないのである。ついでに言えば、Aもまた、集合ではない。

ラッセルの考えは「理論」と呼ばれる。理論では、集合はその要素よりワンランク上のに属すると考える。
例えばA中学校のBクラブ生徒Cさんについては、「Cさん」は0で、「Bクラブ」は1、「A中学校部活動全体の集合」は2、そしてA中学校のすべての部活動が属する「あらゆる部活動集合」は3、などとなる。

ラッセルは、集合を自分自身が要素となる概念を使って定義してはならない、とした。例えば、「富士山」という要素は「山の集合」に属するが、この「山の集合」の定義に「富士山」を用いてはならない、という意味だ。
「自分自身を要素としない集合集合」は、その定義の中に「(同じの)集合」を用いてしまっている。これが、パラドックスを引き起こしていたのだ。

現在では「ZFC公理系」という、集合を厳密に定義するための公理系が存在する。この公理系から、集合AやBのようなものは「集合ではない」と結論することができる。

最初の話では

記事Bは「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」とした。だが、自分自身へのリンクがない記事に、「記事」と呼べるようなものは存在するだろうか?
例として挙げたように、記事Bに属する記事は、立て逃げされた記事や、リダイレクト用の記事だけである。立て逃げされた記事だって、最初に「○○とは××である」くらい書いてあるものだ。それすらない記事を、「記事」として認めることはできないだろう。
記事Bも、自分自身へのリンクがないということは、冒頭に「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧とは、記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧である」といった説明が書かれていないことを意味する。しかしこのような「記事もどき」を、「記事」と呼ぶことはできない。一方で、記事Bの冒頭にこの一文を追加し、きちんと「記事」としての体裁を整えてやれば、パラドックスは生じない。こう書けば、記事Bは記事Aに載せられるからである。

記事とは呼べないものを「記事」と呼んでしまったので生じたパラドックスであった。

余談

全くの余談であるが、本記事は「記事の中に自分自身へのリンクがない記事」である。果たして本記事は、記事として認められるだろうか。あなたの判断に委ねよう。

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ラッセルのパラドックス

51 ななしのよっしん
2019/09/22(日) 20:29:49 ID: cjR+HnEe0M
>>50(追記)
この二人のように「あなる(仮名)ちゃんの心に連動して自分の状態が変わってしまう相手」に対して「あなる(仮名)ちゃんが自分の心を決める事」に問題が生じるのは不思議ではないと思う
ところで、この二人はあなるちゃんとは独立に存在しているが、独立してるかどうかは問題の発生に関係していない。「あなる(仮名)ちゃんの心に連動して自分の状態が変わってしまう相手」が「あなるちゃん自身」でも何もおかしくないはず
不思議さを感じる原因はなんだろう?

有名な床屋パラドックスであればに「床屋を剃り出すと一緒に自分でも剃り始める人」とか「床屋が剃ってくれるなら自分では決してを剃らないし、剃ってくれなければ自分でを剃る人」が居れば床屋は仮に自分のの事が解決しても頭を悩ませる事になる
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52 ななしのよっしん
2019/09/25(水) 22:48:25 ID: cjR+HnEe0M
システム次第で例外ができるなら理に記事名で全部表現せず、適当な用をでっちあげて概要に書いたり規定を作ってしまう手もある

ラッセル一覧記事の一覧
ラッセル一覧記事とは一覧記事の内、記事内の一覧にその記事自身の【正式名】が記載されていない記事の事です
・この記事の一覧に記載する際は必ず【正式名】でお願いします
(注)【正式名】はどのような定義でも問題なく問題が生じる

ラッセル一覧記事の一覧
・非ラッセル一覧記事とは一覧記事の内、記事内の一覧にその記事自身の【正式名】が記載されている記事の事です
・この記事の一覧に記載する際は必ず【正式名】でお願いします
(注)この記事単独では問題は生じない

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
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53 ななしのよっしん
2019/12/10(火) 16:24:32 ID: QwtWS3Ybn+
分かりやすくするなら図形にするのが分かりやすいだろうね
視覚的に見やすくなる
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54 ななしのよっしん
2020/02/09(日) 05:09:52 ID: WPr2Na5DOy
ある百科事典の中に「この百科事典に登場しない単一覧」という節があったとしよう。
その節には何が書かれているのだろうか?
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55 ななしのよっしん
2020/07/22(水) 14:21:55 ID: cjR+HnEe0M
>>54
百科事典と範囲を広げてしまうから何かおかしいんでないか、うまい解決策があるんでないかと悩んでしまう
「この節に登場しない単一覧」とすれば問題はすっきりする
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56 ななしのよっしん
2020/07/22(水) 14:27:42 ID: cjR+HnEe0M
つまり
「この百科事典に登場しない単一覧
とは
「この百科事典のこの節以外の箇所で登場しない単一覧」と「この節に登場しない単一覧」の共通部分となる
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57 ななしのよっしん
2020/11/27(金) 02:55:17 ID: 4HRiSuyK3o
記事Aって、やろうと思えば記事Bの方に載せることも可??
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58 ななしのよっしん
2021/03/22(月) 08:49:08 ID: cjR+HnEe0M
記事Aの方は記事Aと記事Bどっちに載せる形に書いても何の問題もないよ
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59 ななしのよっしん
2021/11/16(火) 13:02:29 ID: cjR+HnEe0M
「記事B:記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」はどうあっても完成しないように見える
しかし「記事A:記事の中に自分自身へのリンクがある記事の一覧」も「記事C:記事の中に自分自身へのリンクがあったりなかったりする記事、あるいはリンク方法が特殊でリンクがあるかないか議論中の記事」があれば完成困難なので、記事Bもその特殊例の一つに過ぎない
記事が完成しない事もしい事ではない。例えば「全ての自然数一覧」「現在存在し、他の記事に記載されると削除され記載が消えると復活する記事の一覧」「『更新が最も新しい記事と次に新しい記事の一覧』が三件以上ある時」等

ところで「記事D:製作意図は不明だが、現時点で記事内の一覧に記載された記事の多くに自分自身へのリンクが存在しないと閲覧者によって確認されている記事」は存在し得る
一覧記事が存在するかどうかは、製作意図が何であるかに依らないし、現在どのような状態かも関係ない
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60 ななしのよっしん
2021/11/16(火) 13:31:57 ID: cjR+HnEe0M
記事の状態と記事の内容は別である

「他の全ての記事より閲覧数が多い記事」は作成可か?可ならばどのような内容か?
「他の全ての記事より閲覧数が多い記事」を二つ作成可か?可ならばそれぞれどのような内容か?

どのような内容の記事であっても「他の全ての記事より閲覧数が多い記事」であるかどうかには関係がなく、また記事内容に変更がなくともその状態はいつでも変化し得る
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