単語記事: 余り

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余りとは、

  1. 物が余ること、または余った物。余り物の記事を参照。
  2. beatmaniaIIDXpop'n musicボタン音になれなかった余りの音を配置した動画につけられるタグ
  3. 整数の割り算で発生する副産物。本稿で記述。

概要

4つの物を2人で山分けすると、分け前は2つになるね。ところが、5つの物を2人で山分けしようとすると、1人2つずつもらったところで、1つ余っちゃう。3人で山分けしようとすると、1人1つずつもらったところで、2つ余っちゃう。このように、いくつかの物を何人かで山分けしようとしても、余っちゃうことがあるんだ。この数を、余りというんだよ。じゃあ、もっと簡単に説明するから、はい、二人組つくってー

定義

厳密に言うと、任意の整数mと正の整数nに対し、ある整数qとrがただ一つずつ存在し、次を満たす。

m = nq+r かつ 0 ≦ r < n

このqを、mをnで割ったときの商、rを余りという。

余りの概念は小学校算数で習うが、割り算を実数値で考えるようになると全くと言っていいほど触れられなくなる。しかし決して意味なものではなく、現在RSA暗号等に応用されている。

多項式の商と余り

余りの概念は、1変数多項式でも考えることができる。但し、係数は実数値で考え、余りは割る式より次数が少ないものとする。次のようにして機械的にめることができる。

  1. 割られる式をF、割る式をG、商を0とする。
  2. Fの次数がGの次数より少なければ、6.へ飛ぶ。
  3. Fの先頭項(最も次数の高い項)をGの先頭項で割り、商に加える。
  4. 3.でめた項をG倍し、Fから引く(これでFの次数が減る)。
  5. 2.に戻る。
  6. Fが余りである。

割る式が1次式のときは、割られる式に特定の値を代入することで余りめることができる。具体的には、割る式がax+bのとき、-b/aを代入すればよい。(剰余の定理)

 剰余類

割る数nを固定して考えると、nで割った余りによって整数全体をグループ化することができる。例えばn = 3とすると、次のようになる。

  • {・・・,-6,-3,0,3,6,・・・}
  • {・・・,-5,-2,1,4,7,・・・}
  • {・・・,-4,-1,2,5,8,・・・}

順に、余りが0の整数余りが1の整数余りが2の整数による集合である。どの整数も、これらのうち1つに属するのである。整数mと余りが等しい集合をmの剰余類といい、[m]あるいはmの上に横線を引いた形で表記する(ここでは[m]と表記することにする)。上記の例で言うと、上から順に[0],[1],[2]である。

この剰余類には次のように演算を定義することができる。

[m]+[m'] = [m+m']
[m][m'] = [mm']

[1]を繰り返し足すことで、いかなる剰余類も表すことができ、n回足すと[0]に戻る。このような循環は、曜日や時間にも見ることができる。

コピペ

パパ、割り算の『あまり』って何?」
「例えば37人のクラスで3人組を作るとするだろう。そうすると組はいくつできる」
「うーんと、12」
「でも組になれてない子もいるだろ」
「うん、1人いる」
「それが中学生の頃のパパだ」
パパ……!」

関連項目


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携帯版URL:
http://dic.nicomoba.jp/k/a/%E4%BD%99%E3%82%8A
ページ番号: 4462529 リビジョン番号: 2153819
読み:アマリ
初版作成日: 10/09/14 11:15 ◆ 最終更新日: 15/01/31 11:22
編集内容についての説明/コメント: コピペの項作成。関連項目にわかりやすいように手動リンク。
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余りについて語るスレ

1 : ななしのよっしん :2010/10/13(水) 09:12:19 ID: lzErY+HFpT
何故作った
2 : ななしのよっしん :2010/10/30(土) 19:32:33 ID: o6Hd93LAYD
な記事で思わず感心してしまった
3 : ななしのよっしん :2010/11/21(日) 13:09:21 ID: pTRA1awEnQ
最初は易しい記事だなと思わせといて途中からレベルがギュンと上がる
4 : ななしのよっしん :2010/12/19(日) 06:59:08 ID: /DmUTcwF3U
はい、二人組つくってー
5 : ななしのよっしん :2011/01/26(水) 03:53:14 ID: FZzjkpg0fK
タグではbeatmaniaIIDXpop'n musicボタン音になれなかった余りの音を配置した動画に使われることが多い。
6 : ななしのよっしん :2012/04/23(月) 11:59:49 ID: fv5W5L4eDL
例えば
・5で割ると4余る
・7で割ると2余る
たまにこういう数を考えることがあるのだがどうやってめればいいのか
5や7くらいなら虱潰しも効くけど・・・
教えてエロい人
7 : ななしのよっしん :2012/04/24(火) 00:40:34 ID: TEob7tr8RR
この例なら、9を引けば5の倍数にも7の倍数にもなるから、
める数は35の倍数に9を足したもの。
式で書くと35k+9(kは整数)。

算数受験問題なら、うまいこと同じ数を引けば↑のようになるはずだから、
あとは割る数の最小倍数でめればよいかと。

数学的な解き方をするんであれば、「中国剰余定理」でググれば載ってる。
合同式の知識が必要だけども。
8 : ななしのよっしん :2012/06/23(土) 20:33:49 ID: lN07JvKkyR
その数をnと置くと①n-4は5で割り切れ、②n-2は7で割り切れる
よって①からn=5k+4と置ける。
また②よりn-2、つまり5k+2は7で割り切れる
よって5k+2=7mとなる
整理すると
5(k-1)-7(m-1)=0となるので
k-1=7t,m-1=5tとなり、さかのぼっていくとn=35t+9(t:整数
となる

もっと簡単にやりたかったら合同式でぐぐれ
9 : ななしのよっしん :2012/06/23(土) 20:38:27 ID: nTw63clSiS
最近は>>6のようなことを数学でやらないんだろうか。
それとも高校数学教師が変だっただけだろうか。
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