概要
手計算を行う際、足し算や引き算に比べて掛け算や割り算は時間がかかる。累乗はさらに時間を要する。計算機がまだ開発されていなかった頃、数値の計算には多大な時間を要した。ここで、指数法則と言われる、下の式を見てほしい。
ax × ay = ax+y
(ax)y = axy
この式を見ると、掛け算を指数の足し算として、累乗を指数の掛け算として表されているのがわかる。つまり、あらゆる数をある数の累乗で表すことによって、計算の手間を省けると考えたのだ。厳密な計算には向いていないが、手間をかけずに概数を得ることはできるので、物理学や工学等で重宝された。
ニコニコ動画では対数より自然対数の底eのほうが好かれているようだ。
定義
ay = x (a>0,a≠1) であるとき、yをaを底とするxの対数といい、y = logax と書く。
logaxy = logax + logay
logaxy = y logax
となる。さらに詳しく知りたい方はWikipediaの対数
、自然対数参照。
実際にやってみよう
- 紙と鉛筆、対数表を用意しよう。計算機は使わないでね。
- 2つの数を適当に決めよう。桁数が多いほうがいいよ。
- まずは普通に掛けてみよう。
- 今度は2つの数を対数表で変換して、足してみよう。
- 対数表を逆に使って、できた数を変換しよう。
- 普通に掛けた数と比べてみよう。どうなったかな？
代表的な対数
対数を扱うときは底を固定するのがほとんどだが、有用性の高い底がしばしば用いられる。特によく使われるものが以下に挙げる3つで、状況に応じて使い分ける。どれも底を省略して log x と書かれる。同じ文章の中で下記を混在させて log x と書くことはないが、単に log x と書いた場合には底が何であるかを明確にしなければいけない。
自然対数
底がネイピア数である対数。
ln x とも書く。xを変数とする対数関数は微分積分が容易なため、数学で対数というと自然対数を意味していることがほとんど。
常用対数
底が10である対数。
例： log1010 = 1、log10100 = 2、log101000 = 3、…
これは、一、十、百、千、万、…を、０、１、２、３、４ に変換するもので、元の数の桁数や、一十百千万の０の数がわかるので、10進数に慣れ親しんだ我々にとって非常に親切。液性を示すpH等に用いられている。
二進対数
底が2である対数。
2進数を扱う際に都合がいいため、計算機科学の分野で主に用いられる。
単に10進数が2進数に変わるだけで基本的な考え方は常用対数と同じ（桁数とか、100000などの０の数とか）。
対数関数
logax において、xを変数とする関数。
真数条件により定義域は x>0 である。指数関数 ax の逆関数であり、グラフは必ず(1,0)を通る。 a>1 なら上に凸な単調増加、 a<1 なら下に凸な単調減少。xの値を限りなく大きくしていくと、logax の絶対値は緩やかではあるものの、限りなく大きくなる。一方xの値を0に近づけると、logax の絶対値は(方向は先程と逆だが)すごい勢いで大きくなる。
複素関数としての自然対数
オイラーの公式を用いて、自然対数の定義域をより広い複素数の範囲にまで拡張できる。
※以下、x>0 の実自然対数(自然対数の項で既に定義したもの)を ln x と表し、
複素数zの自然対数(これから定義するもの)を log z と表す。
z = r (cosθ+ i sinθ)
= eln reiθ
= eln r + iθ
が成り立つ。ここから、
となるのがわかる。但し、z=0 のときは絶対値が0になるので、log z は定義できない。
よって定義域はz≠0。
また、θは無数の値をとり得るので、log z は多価関数(ひとつの値に対し、複数の値を返す関数)となる。
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関連項目
http://dic.nicomoba.jp/k/a/%E5%AF%BE%E6%95%B0
ページ番号: 737310
リビジョン番号: 1485097
読み：タイスウ
初版作成日: 08/11/24 13:56 ◆ 最終更新日: 12/03/30 01:15
編集内容についての説明/コメント: 常用対数の例：一十百千万
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