単語記事: 幾何学

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幾何学とは、図形について考察する数学の一分野である。

現代の幾何学では所謂"幾何学的"な整然とした図形だけでなく、より広範な対を扱う。

概要

発祥は非常に古く、古代オリエントのナイル流域における測量に端を発すると言われている。

イル流域は年に一度氾濫を起こし、氾濫が終わった後には肥沃な土壌を上流から運んでいた。しかし、氾濫により一帯が全て洗い流されてしまうため、氾濫後には土地を元通りに配分しなくてはならなかった。このような背景の下、古代オリエントでは測量術が発達し、測量術から生する形で幾何学は誕生した。ラテン語Geometria英語Geometryと表記するのもその名残(geo- : 土地の -metry : 測定法)である。

この時代の有名な発見物として、辺の長さのが3:4:5の直三角形がある。この三角形により、簡単な整数から直を作ることが可となった。

その後古代ギリシアいて研究が進み、大きな発展を遂げる。特筆すべきは明という手法を導入した点にある。現在から考えれば当たり前のような手法かもしれないが、僅かな前提(公理準)から、当然とは思えないような結論(公理)を厳密な演繹により導き出すこの手法は、当時としては画期的な手法であった。この時代の要な人物としてはターレスピタゴラスユークリッドなどが挙げられる。中でもユークリッドは『原論』を著わし、この時代における明の手法を完成させたと言われる。

ユークリッドの提案した公理準は以下である。

  • 公理1: 同じものと等しいもの同士は互いに等しい.
    (A=BならB=A, A=BかつB=CならA=C.)
  • 公理2: 同じものに同じものを足した場合、その合計は等しい.
    (A=BならA+X=B+X.)
  • 公理3 同じものから同じものを引いた場合、その残りは等しい.
    (A=BならA-X=B-X.)
  • 公理4 互いに一致するものは、互いに等しい.
  • 公理5 全体は部分より大きい.
  • 準1 任意の1点から他の1点へ線を引くことができる.
  • 準2 有限の直線は連続的にまっすぐ延長することができる.
  • 準3 任意の点を中心に、任意の半径の円を描くことができる.
  • 準4 全ての直は等しい.
  • 準5 1本の直線Aが2本の直線B,Cに交わるとする。このとき、同じ側の内が2直未満であれば、B,Cを限に延長すれば何処かで交差する(行線は交わらない).

以来、長らくユークリッドが体系化した「ユークリッド幾何学」は一の幾何学として研究が進められていた。というのも、直感的に納得のできる間のあり方での幾何学だったからである。その一方で、準5(行線準)については長らく妥当性に疑問が投げ掛けられていた。行線準の明は、正に「世紀の難問」だったのである。

19世紀にフリードリヒガウス準5(行線準)を「行線は交差する」と置き換えても整合性のある幾何学が成立する可性を示唆した。これにより、後年に非ユークリッド幾何学が生み出された。余談だが、ガウス自身は宗教紛争に巻き込まれることを嫌って非ユークリッド幾何学を提唱することはなかった。

現在でも数学要な地位を占めていることは変わらず、多くの生分野を生み出している。代表例は以下の通りである。

"幾何"の語源について

一般にはGeometriaの"geo"を中国語に音写したものが"幾何"であると説明されるが、実際には正しくないようである。

近年の研究によれば、清代に中国に滞在したイエズス会士が計量のことを"幾何"と翻訳していたようであり、どちらかといえばGeometriaの"metria"を中国語訳したものであるというのが正しいようである。

詳細については、以下の論文が詳しいので興味のある者は参照するといいだろう。

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読み:キカガク
初版作成日: 10/02/14 09:18 ◆ 最終更新日: 16/10/01 23:16
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幾何学について語るスレ

13 : ななしのよっしん :2013/02/08(金) 16:38:59 ID: YEh+9meecp
やっぱり 幾何学ユークリッド幾何学イメージが強いからなぁ
トポロジーやろうぜ!
14 : ななしのよっしん :2013/03/24(日) 08:06:10 ID: UNztS7a+ql
幾何学教育においてはいろいろと変遷があって、戦前から戦後間もないころは解析幾何学がちゃんと教えられてたんだが、その後現代化運動幾何学を排除しようということになったんだが結局小平のような老人連中に妨されて失敗し、結局ちぐはぐなものになっちまったんだよな。こういう事情のせいでろくにやらんのよね。デュドネもすっかり忘れられてしまった。

最近だと数学専攻ですら、大学でも古典幾何はろくにやらないんじゃないか。まあ、根絶されたわけじゃなくて高2から大1あたりの線形代数に取り込まれちゃってるんだがね。メネラウスとかチェバとか何の役にも立たなかったとかいうのも幾何学教育が形骸化されちゃってるからなわけで。解析幾何学も中高だと函数のグラフとかに取り込まれちゃってるが、具体的科として直接は習わないからな。

そういうわけで、そういう古典幾何学は自で学ぶしかないが、学びたくても昔のちゃんとした本も絶版にされてて入手困難だしねえ。コクセターの「幾何学入門」あたりはそういう情勢のなか総合幾何学を重視する立場から書かれたんでおすすめ。
15 : ななしのよっしん :2013/03/24(日) 08:15:13 ID: UNztS7a+ql
行列や複素数やるべきだってのは回転運動が表せるからで、オイラーの公式や回転行列が同値なのはわかる?これは古代ギリシャ運動(位置の変化的な意味)がタブー視されてたのと関係があるらしく、連続的運動じゃなく一挙にワープするようなデカルト面上の点の移動とか欧数学書に書いてあるがらはいまだにこういう事情がある。

こういう古典幾何学も原子物理学とかと同じで学校でもやらず、本もろくになく忘れ去られつつあるからねえ。ニコニコでやるとなると、明の動画的変化(昔数学教師ピタゴラスの定理の明を見せてくれたよ)とかだろうか。最近はあまり見てないんだが、明期から1,2年ぐらいはそこそこあったが、某解析学や代数学動画とかどうなったんだろうか?

まあ、図形が相手だから、解析や代数よりも動画で展開しやすいとは思うが、何かいいソフトないかな。海外だと数学教育電卓コンピュータ使うのもしくないし、幾何のソフトもあるが使い方がよくわからんかった。ある意味教育の電化で最も威を発揮しそうなんだがなあ、とくに動く図形や立体幾何は黒板に書けないからね。
16 : ななしのよっしん :2014/06/07(土) 23:35:13 ID: E7E0eKREf8
お、おう・・・
17 : ななしのよっしん :2014/10/18(土) 23:41:53 ID: SOwJlsQ4F0
個人的にユークリッド幾何は非直感的過ぎて嫌い
18 : ななしのよっしん :2014/11/21(金) 19:34:01 ID: BvVFUW//CU
>>14-15深夜の馬鹿力Yahoo! クソ袋に投稿していいレベル
19 : ななしのよっしん :2015/06/17(水) 15:46:32 ID: ebqBqcy57+
幾何学ってある種の変換で変わらない性質調べる学問のことじゃないの?
クライン的に考えて
20 : ななしのよっしん :2015/09/27(日) 02:00:46 ID: E4JzYSKS2q
>>19
エルランゲン・プログラムだね。
現代の幾何学は基本的にその考え方で構築されていると思う。

ただ今の幾何学は、変換で変わらない性質を調べるだけではなく、変換全体の集合についての性質を調べる方向も結構強い気がする。(例えば位相幾何学だと、微分同相群とか写像類群とかの変換の集合自体が研究の対になっている。)
21 : ななしのよっしん :2016/05/08(日) 13:05:17 ID: likjfCV5Hz
綿棒多面体の人どうしてしまわれたんだ…?
渋の方でもアクセスできなくなってるし…。
ストレンジアトラクタの人も退会してしまったし、寂しい。
22 : ななしのよっしん :2018/02/15(木) 22:56:24 ID: YEh+9meecp
どうでもいいけど「幾何」って漢字かっこいいよね(中二病並感)
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