単語記事: 弧度法

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弧度法とは、度を表す方法のひとつである。

概要

度を表すのに、よく使われているのが度数法である。直90°と表すのは、度数法による表記である。しかし、この90°という表記に疑問を抱いたことはないだろうか。なぜ直90という数があてられているのか、という疑問である。度数法の起は諸説あるが、人間本位とも言える度数法は不自然であると考える人もいることだろう。

1ラジアン

そこで考え出されたのが弧度法である。弧度法は、その度を中心とする扇形の弧の長さと半径の長さので表されるものである。わかりやすく言うと、度数法の数字を180で割ってπを掛けたものである。これによって直π/2と表される。単位ラジアンだが、数学では通常書かない。物理学では[rad]と書くこともある。

弧度法での度の値をイメージしづらいって人は、半円の形で売られてるパイ(食べ物のほうね)をイメージしてみよう。それが1個だと、πすなわち180°だ。2個だと、2つくっつけて円になるね。これが2ππ/3ってのは、パイを扇形に3等分したときの中心。(2/3)πだったら、3等分したパイを2個くっつけてみよう。正のならそのパイを始線に沿って上向きに、負のなら下向きにくっつける。初版執筆者の私は、高校時代こうやって考えてました。

弧度法のメリット

度を「率」という視点で扱うことで「半径何個分だけ円周上を進んだか」で表すことができるようになるので、数式で表したときに余分な定数を掛けなくて済むのが最大のメリットといえる。

円周の長さは半径をrとすると「2πr」で表されるが、これは1周が2πラジアンだからであり、弧の長さは度(ラジアン)をθとすると「θr」という極めてシンプルな式で表すことができる。

円の面積は「π2」で表されるが、これも扇形を一周つまり2πラジアン回ったときの値なので、面積は「θ2/2」で表される。例えば、半径1の1ラジアンの扇形の面積は 1/2 ということになる。

度を扱う代表的な関数である三角関数を、級数などの数値計算でめるときにも同じようなことがいえる。多くのプログラミング言語三角関数に与える引数度がラジアンになっているのもこのためである。

関連項目


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読み:コドホウ
初版作成日: 10/03/09 17:15 ◆ 最終更新日: 16/04/21 22:19
編集内容についての説明/コメント: 「関連項目」に「ラジアン(単位)」「円周率」を追加しました。
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1ラジアン

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弧度法について語るスレ

8 : ななしのよっしん :2012/09/12(水) 19:56:45 ID: ciYWn9PHkg
お金は丸いからという理由で1$=360円だった時代もありました
9 : ななしのよっしん :2014/01/14(火) 15:02:44 ID: t6psg84X42
>>8
単位が円だから三六十度というのは見たことが有る。
10 : ななしのよっしん :2014/03/30(日) 22:58:41 ID: o5C2E9LAcU
気の利いた教師なら何で弧度法を使うのかさくっと説明してくれるかもだけど
現場だとなかなかそうも言ってられないのかもね

端的には
lim[x→0]sinx/x=1
となるように(高校教育では順番が逆なんだが)設定する度の取り方が
弧度法で,これによってsinxの微分係数がそのままそのxにおけるcosxの値になる便利さが生まれる

指数関数ネイピア数eを導出して,その結果x=0のとき微分係数が1になる,というのと同じだね

※裏返せば微分のために編み出した方法なわけだ
11 : ななしのよっしん :2014/03/30(日) 23:07:27 ID: o5C2E9LAcU
連投すまぬ
弧度法」という名称もまた,弧度法を使うことによって弧長に直接影するからという結果から名付けられた(?または定着した)ともいえる

高校教育でどういう順番で弧度法を習ったか忘れてしまったが,
弧度法を扱う本質的な理由は上記のためであって,
扇形の弧長が計算しやすいとか扇形の面積める式が簡素化する,
というのは(歴史的にはそういう面もあったろうけど),
現状ではやはり,その結果として厳密に明でき公式化できることが重要なんだと思う
12 : ななしのよっしん :2014/03/30(日) 23:36:34 ID: o5C2E9LAcU
うん,蛇足です

>>1文系とかその後の三角関数とかで弧度法でないと太刀打ちできない局面て
あったかなあと,古い記憶をたどってみたんだけど,例えばどんなんだろう?

直観的には360という約数を大量に抱えた値で,小学生から身につけてゆく
度の感覚”がストレートに伝わる度数法のほうが理解しやすいと思う
加法定理にしても一般殻に拡された三角関数においても,度数法で困らないと感じるのだが,如何

というか工学系の研究においても(応用物理もそうかも?)弧度法をわざわざ度数法に換算して“感覚的にわかる値”を出すことはザラだしね

人生観が180°変わった」と言う表現に対し「πラジアン変わった」という変わった人(?)はかなり少ないんじゃないかな
13 : ななしのよっしん :2014/07/29(火) 19:51:40 ID: o5C2E9LAcU
特に書込が続いてないけども自身への納得としてオナヌー書込。
ただし,数学科の人間ではないので厳密さはめないでほしい。
工学屋であって数学はあくまで言(または定量的に表す便利な具)と見なしている。

弧度法は先述の通りlim_[x→0]sin(x)/x=1となるように実数へ対応させた概念だ。
だがそもそもはθ=0[rad](=0°)近傍でsinθの傾きがcos(0°)=1とすると解析学的に“都合がよい”。
同様にθ=0[rad](=0°)近傍でcosθの傾きが-sin(0°)=0も同様である。
※0°<θ°<90°で単調減少しているのでsinは“-”をとる(これも“数学的都合”)。

そこでd/dx{sin(x)}=lim_[Δx→0][{sin(x+Δx)-sin(x)}/Δx]を考えたときに,
加法定理により和積変換すれば(なおかつ加法定理により一般も定義されているとする),
d/dx{sin(x)}=cos(x)・lim_[x→0]sin(x)/xと件の極限が発生し,
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
14 : ななしのよっしん :2014/07/29(火) 19:53:32 ID: o5C2E9LAcU
ところで,弧度法の定義より先にlim_[x→0]sin(x)/x=1なる
度の取り方(実数への対応のさせ方)を考えるのは難しい。
なぜなら扇形の弧長・弦の長さがまだ定まっていないからだ。

ただ,π≒3.14というのは既知であり,半径rの円周の長さは2πrであることも既知だ。
ここで,tan(θ°)は0°<θ°<90°において単調増加であり,
単位円(r=1)における弧長arc(θ°)=πθ°/180°<tan(θ°)である。
そしてまた0°<θ°<90°においてsin(θ°)<arc(θ°)でもある。
※実のところここの厳密な明は難しい。ただし,図やグラフを見れば明らかではある。

そして,sin(θ°)<arc(θ°)<tan(θ°)をθ°≠0°として式変形すると
1<arc(θ°)/sin(θ°)<cos(θ°)でありθ°→0°の極限は
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
15 : ななしのよっしん :2014/07/29(火) 19:58:44 ID: o5C2E9LAcU
ここでようやく度と実数の一対一対応ができあがる。
即ち,90°→π/2,180°→π,360°→2πとなり,この間の行程で,
この対応においてlim_[x→0]sin(x)/x=1が成立することも自明である。
そして「°」とは“度の単位”であり,抽的に実数対応させた場合,
180°:=πという次元度「ラジアン」が定義できる。
※実数に対応させたため逐次“[rad]”と付け加える必要はない。
 逆に言えば「°」は実数に対応していないため逐次付け加える必要がある。

この結果,lim_[θ→0]{sin(θ)/θ}=1,{sin(θ)}'=cos(θ),{cos(θ)}'=-sin(θ),
そして,弧長という,arc(θ)=rθ関係が成立するという,
※上述ではr=1であったため“1(r)”を省略してあった。
数学上もっとも都合の良い関係”がうまれるのである。
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16 : ななしのよっしん :2014/07/29(火) 22:14:00 ID: o5C2E9LAcU
一部修正

従って,arc(θ°)/sin(θ°)=(πθ°/180°)/sin(θ°)であるから,
θ°→0°の極限は1=πθ°/180°sin(θ°)180°sin(θ°)/θ°=π
このとき,lim_[x→0]sin(x)/x=1となるように度の取り方を考えれば,
180°→πとなり,ようやく度と実数の一対一対応ができあがる。

即ち,90°→π/2,180°→π,360°→2πとなり,
そして「°」とは“度の単位”であり,抽的に実数対応させた場合,
180°:=πという次元度「ラジアン」が定義できる。
※実数に対応させたため逐次“[rad]”と付け加える必要はない。
 逆に言えば「°」は実数に対応していないため逐次付け加える必要がある。
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
17 : ななしのよっしん :2016/03/22(火) 09:44:06 ID: 0AI7AarLgS
かった
というかめちゃくちゃためになったわ。ありがとう
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