指数関数とは、累乗の概念を自然数より広い範囲に拡張し、指数を変数にした関数である。
概要
正の数aから始めて、次々にa倍した数を書き並べるとしよう。n個目に書かれているのはanとなるね。それはnが増えるにつれて、a>1ならどんどん大きくなり、a = 1なら1のまま、a<1なら0に向かって小さくなっていく。そこで、指数を自然数に限定しなくてもこの関係が成り立つのでは?と考える。そこから出てくるのが指数関数につながるわけだ。
指数の拡張
一般のxについて、指数法則が成り立ち、かつ概要に書いた大小関係が成り立つようにaxを定める。
a0
指数法則により、a0a = a0a1 = a0+1 = a1 = a
a≠0より、両辺をaで割って、a0 = 1
ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。00は定義されないが、便宜的に1とすることがある。
a-n
nを自然数とする。
指数法則により、ana-n = an-n = a0 = 1
an≠0より、両辺をanで割って、a-n = 1/an
ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。0-nは定義されないが、便宜的に∞とすることがある。
am/n
m,nを整数とし、n>0とする。
指数法則により、(a1/n)n = an/n = a1 = a
よって、a1/nは、aのn乗根である。その中で正の実数となるものが必ず唯一つ存在する。大小関係を保つのはその正の実数値のみである。
指数法則により、am/n = (a m)1/n = n√am
ちなみにこれは、a<0のときは成り立たない。負の数の偶数乗根は実数の範囲に存在しないからである。0のn乗根は0しかないので、01/n = 0が成り立ち、m>0のとき、0m/n = 0である。m≦0のときは00,0-n同様定義されない。
ax
xを一般の実数としたとき、これに限りなく近づく有理数列を考える。それを指数とする数列を作れば、それはある値に限りなく近づく。それをaxとする。
ちなみに、x>0のとき、0x = 0である。なぜなら、xに十分近い有理数は正の値をとり、それを指数とするとすべて0になるからである。
指数関数
指数を実数まで拡張できたので、実数を定義域とする関数axを定義できる。ここで、aを底という。a = 1のときは定数関数となるため、除外して考えることが多い。グラフは必ず(0,1)を通り、下に凸な曲線となる。a>1なら単調増加、a<1なら単調減少である。xを0から遠ざけると、一方は0に近づき、他方はものすごい勢いで大きくなる。その増え方は、xが0より遠ざかるごとに勢いを増し、いかなる多項式関数をも凌駕する。x軸が漸近線である。
ex
指数関数の中でも特に重要なのが、ネイピア数を底とするものである。単に「指数関数」といった場合にこれを指すこともある。exp(x)とも書く。この関数は、微分しても変化しない。つまり、(ex)' = exが成り立つ。これは非常に有用性が高く、様々な分野で応用されている。また、この関数は後述するオイラーの公式にも登場する。
オイラーの公式
これを導き出す過程で、微分が重要な役割を担っている。これにより、eの虚数乗を定義することができる。
複素関数としての指数関数
底がeの場合
底がeのとき、指数を複素数まで拡張することができる。オイラーの公式と指数法則を用いて、
ex+iy = exeiy = ex(cosy+isiny)
と表せる。ちなみに、ここでのx,yは実数である必要はない。
底がaの場合
まず、axをetの形で表す。et = axとすると、t = logax = xlogaなので、ax = exlogaが成り立つ。あとは底がeの場合と同様。ちなみに、ここでのaはa>0に限らず、0でない複素数であればよい。複素数の自然対数の求め方は、対数の項目を参照。複素数の自然対数は複数の値をとるので、axもまた然り。
関連項目
関連動画
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初版作成日: 09/10/16 10:04 ◆ 最終更新日: 12/05/05 17:06
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