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単語記事: 数学的帰納法

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数学的帰納法とは、自然数に関する命題を証明する方法のひとつである。

概要

「すべての」自然数に関する命題を示す際、nを任意の自然数として証明する方法があるが、すべてが簡単にいくとは限らない。一方、1つずつ値を代入する方法をとると、自然数は無限個あるので有限回の手続きでは終わらない。数学的帰納法を用いれば、有限回の手続きで終了し、かつ比較的容易に証明できる。このことから非常に有用性の高い証明法としてよく使われる。

定義

ある命題がすべての自然数nについて真であることを証明するには、次の2つが成り立つことを証明すれば十分である。

  • n = 1のとき真である。
  • n = kのとき真であるならば、n = k+1のときも真である。(kは任意の自然数)

このとき

  1. n = 1のとき真である。
  2. n = 1のとき真であるので、n = 1+1 = 2のときも真である。
  3. n = 2のとき真であるので、n = 2+1 = 3のときも真である。
  4. n = 3のとき真であるので、n = 3+1 = 4のときも真である。
  5. (以下略

であるので、全ての自然数nに対して真であることがわかる。0を自然数に含める場合は、n = 1の代わりにn = 0のとき真であることを示せばよい。

応用

「n = 1, 2のときに真であることを証明して、n = k, k+1のときに真であるならばn = k+2のときにも真であることを示す」ことによっても、すべての自然数について真であることを証明できる。nが3つ以上の値に渡る場合でも同様のことが可能である。

また、「n = 1で真であることを証明し、n ≤ kのときに真であるならばn = k+1のときにも真になることを示す」というパターンもある。

例

  • 「おっ、続き物の動画を発見したぞ。とりあえずパート1だけ見て寝よう」→1番目の動画を見る
  • k番目の動画を見る→「初めはこれ見たら寝ようと思ってたけど、続きが気になるな。よし、次の見たら寝よう」→k+1番目の動画を見る

⇒最終回を見るまで寝れない

間違った例

  • 「再生数が1桁だと底辺だよなー」→再生数が9以下なら底辺
  • 再生数がkなら底辺→「底辺動画が、再生数1増えたところで底辺には変わりないよなー」→再生数がk+1なら底辺

⇒すべての動画は底辺

関連動画

関連項目

携帯版URL:
http://dic.nicomoba.jp/k/a/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
ページ番号: 4203352 リビジョン番号: 1184769
読み：スウガクテキキノウホウ
初版作成日: 09/11/10 12:16 ◆ 最終更新日: 11/05/27 21:15
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数学的帰納法について語るスレ

-数学的帰納法の記事へ戻る- 1-
1 ： ななしのよっしん ：2009/11/10(火) 12:53:16 ID: EQKjiFZh6P
全ての人間はハゲであることの証明
髪の毛の本数をnとする。
n=0のとき、ハゲであることは自明である。
髪の毛がk本のハゲに、一本植毛してもハゲであることに変わりない。
よって、すべての人間はハゲである。
2 ： ななしのよっしん ：2009/11/10(火) 13:02:56 ID: Qjvt40xj3V
どこまでをハゲと呼べるのか、あと
全ての人はハゲでない
ってのも成立するってことだよね
3 ： ななしのよっしん ：2010/03/30(火) 10:43:17 ID: 8k1cHaPT/u
問題は「ハゲである」事の定義が出来ていないことだね。
4 ： ななしのよっしん ：2010/08/05(木) 14:33:17 ID: sGaf4knF1G
帰納法って名前だけど論理的には演繹なのよね
5 ： ななしのよっしん ：2010/08/21(土) 10:43:08 ID: /za2TZPIcJ
数学って本当の帰納法は許されていなくて、証明はすべて演繹法でないといけないんだっけ。
ハゲについてもそうだけど、帰納だと大体詭弁になっちゃうんだよね。
6 ： ななしのよっしん ：2011/05/06(金) 01:57:22 ID: P2tP2VRvRn
応用で触れられてないけど、全段仮定もあるよな。
n=1で正しいことを示し、n=1,2,3,...,k-1のとき正しければn=kでも正しいことを示す。
7 ： ななしのよっしん ：2011/05/27(金) 21:03:37 ID: q3Jc9Dhcf8
関連項目に明日から本気出すがあることに心折られた。
後は全部明日の俺に任せて寝ることにするわ。
8 ： ななしのよっしん ：2011/06/09(木) 21:01:41 ID: UHUksWX8Sr
"明日からは本気出す"は不可能だと帰納法で証明できるってのは前に何かの本で読んだなあ。
馬鹿馬鹿しい、こじつけの理論だと思って気にもしなかった。
が、俺がまさにその実例だと最近気づいた。数学万能
9 ： ななしのよっしん ：2012/01/17(火) 16:53:35 ID: 7/2kgp2/N5
関連項目の明日から本気出すｗ

高校の数学教師に全く同じ事言った人いたわｗ　課題やってこなかった生徒に対して
｢今日やらない、明日もやらない、明後日もやらない。こういうのを数学的帰納法と言うんだ！｣って怒ってた。
面白いのでしばらく語り草になったな。いや懐かしい。
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