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単語記事: 整数

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整数とは、0,1及びそこから加法構造で帰納的に得られる数の集合である。平たく言えば、0、と+1,+2,+3...といった自然数、-1,-2,-3...という符号反転した数のこと。

現実世界で実在物を数えるだけなら自然数で事足りるわけだが、自然数は引き算(足し算の逆演算)が自由にできないため演算構造として対称性が悪い。そこで負の数の存在を保証して足が出ないようにしたのが整数である。一応掛け算に付いても閉じているため、専門的には単位的可換環(加法群＋可換乗法)ということになる。

いうまでもないが割り算は自由にできないので、完全な四則演算フリーではなく、よって整数は体ではない。

簡単な概要

整数とは、0, 1, 2, 3...や0, -1, -2, -3...のように、数字(0123456789)とプラスマイナスだけで表現される数のことである。分数や小数ではない数である。

リンゴやミカンなどを数えるときは自然数(1, 2, 3...)で十分だけど、自然数だけで物事を考えると、2 - 5 = ?のように、引く数が引かれる数よりも大きくなったときに、引き算ができなくなってしまう。そこで、自然数に0とマイナスの数を加えた集合を整数とした。これによって、どんな引き算もできるようになる。

整数と整数を、足したり掛けたり引いたりしても、その結果は絶対に整数になる。なので、＋、×、－を使った計算は整数の世界だけで説明することができる。

しかし、整数の世界で÷を使った計算をすると、その結果が整数にならない事がある。そこで出てくるのが分数や小数であるが、それはまた別のお話。

負の数の乗法

ついでなので、負の数同士の積が正の数になることも説明しておく。

-1×-1=1

というこの式は、負の数自体が人工物である以上「そう決めたから」というのが答えなのだが、もちろん適当に決めているわけではない。

例えば会計処理で商品の販売数を1,2,3とカウントするとする。もし商品の返品があった場合、その扱いは-1,-2,-3として折り込まれる。一つ辺りの利益が100円とするならば、販売個数毎に100円、200円、300円と総利益がカウントされ、逆に返品毎に-100円、-200円、-300円……と、ここまでの処理が妥当である事は分かるだろう。

では、実はこの商品は特価品で、1つ売れる毎に100円の赤字が出るとしたらどうだろうか。この場合、商品が売れる毎に利益は-100円、-200円、-300円となり、返品される毎に(理論的には)100円、200円、300円の儲けがでることになる。マイナス×マイナスは確かにプラスを生んでいるのである。

負の数が当たり前のように使われるようになったのは割と最近で、かのオイラーですら「負の数は無限大より大きい」という謎な推論を行っていたりする。こういう基礎論に関わる問題は簡単なようで難しい。

関連動画

整数に関するニコニコ動画の動画を紹介してください。

関連コミュニティ

関連項目

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ページ番号: 4613649 リビジョン番号: 1391445
読み：セイスウ
初版作成日: 11/04/19 03:10 ◆ 最終更新日: 11/12/27 02:38
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整数について語るスレ

-整数の記事へ戻る- 1-
12 ： ななしのよっしん ：2011/07/02(土) 21:28:24 ID: 0oalOLgDCN
>ただ、「この記事の「負の数」は整数に限った話です」と
そう書いてあると、整数以外では成り立たないって思い込む人も出て来そう。
それに、整数以外でも成り立つことを整数に限定して話すのは、
考えを狭めるだけで、良いとは思わない。

>一々、言葉の定義が～だから～すべきなんて厳密にやっていたらキリが無いよ。
こういった、言葉を扱うサイトでは、ある程度の厳密さは必要では？
少なくとも反対意見が出ない程度には。

>あと、別に「整数に限って書くべき」なんてどこにも書いてないよ。
だったら尚更、他の記事に移したほうがいいんでないの？
13 ： ななしのよっしん ：2011/07/02(土) 23:48:16 ID: TmiiEyksjd
>そう書いてあると、整数以外では成り立たないって思い込む人も出て来そう。
そうでは無いという事も合わせて書けばいい。

>こういった、言葉を扱うサイトでは、ある程度の厳密さは必要では？
>少なくとも反対意見が出ない程度には。
この記事は「整数」なんだよ。整数の記事の中で「負の数」と書いてあるのを、
それは{x∈R|x<0}だから間違いだ！というのは意味のない厳密さだよ。

>だったら尚更、他の記事に移したほうがいいんでないの？
なら、まず他の記事で書いた方が良くない？
内容の重複は後から処理すれば良い。
14 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 00:52:29 ID: aXJrugZuWW
ここで「負の数の乗法」の例で、
返品された特価品って大抵売れ残って結局廃棄されることが多いから
かなり短期的な視野で見ない限り返品されたら特価の分の売上すら得られずに結局損してるよね、
というストライクゾーンを大幅に外れた突っ込みをしてみる
15 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 02:44:37 ID: 0oalOLgDCN
>>13
負の整数のみで成り立つことを書くなら「負の数」でも問題ないさ。
整数以外でも成り立つことを「負の数」って書いてるから混乱するんでしょうよ。

で、移動には賛成なの？
賛成なら負数の記事作ってそっちに移そうと思うけど。
16 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 04:39:29 ID: TmiiEyksjd
>>15
>>13で俺が書いた事理解してる？

何故、俺が反対するかというとね。
整数が自然数から引き算を導入する為に構成されたものという項目から負数の掛け算の話への自然な繋がりが、この記事のいい所だと俺は思った訳。
それを、負数の独立した項目を一つ作るという事で、その繋がりを削除するのは如何なものかと思った訳。

いや、ID:0oalOLgDCN がどう編集するつもりなのかは分からないけどさ。この記事に要らないでしょみたいな強い言い方するから、完全に削除するつもりなのかなと思ったのよ。

「詳しくはここへ」等の負数へのリンクを貼るなどして、完全に削除するのでなければ、俺は別に良いよ。

あと、混乱する人は居ないと思うけどなぁ…
17 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 06:15:00 ID: 0oalOLgDCN
負数の記事作るとしたら、リンクは貼るつもりだけど、関連項目に加える程度よ。

自然な繋がりって言われても、いまいちピンと来ないんだよなぁ…。
引き算の導入や負の整数に関してきちんとした定義や説明がされていて、
かつそれを用いて負の数の掛け算を解説してるならわかるけど。
実際、マイナスが何であるかの定義が書かれてないし、
負の数の乗法に関しては、独立した直感的な説明になってる。
はっきり言って繋がりは見えない。

それに、ここに来る人の全員が全員、
自然数⊂整数⊂有理数…といった数の拡張まで気にしてないと思う。
負の数は正の有理数より後に習うんだから、
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック！)
18 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 06:39:34 ID: TmiiEyksjd
>>17
そりゃ、きちんとした定義なんてやったら教科書になっちゃうよ。
でも、概略としては説明されていると思うけど。

公理的な構成と、概念の現実への当てはめは元々独立した話では？
自然と言うのは話の流れというかさ…
構成と具体例（？）はセットであるべきだと思うんだよ。
どちらか一方だけだと意味が薄い。
これが俺の主張の中心かな。

確かに全員が数の拡張なんて難しい事を気にしてる訳じゃないね。
でも、気にしてないから要らないってのは変な気がする。
19 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 06:52:18 ID: TmiiEyksjd
これは蛇足で、多分個人的な意見に留まると思うけど。

数学ってのは抽象的な論理体系じゃないし、逆に計算の規則の集合体でも無い。その両方の間の繋がりが数学だと俺は思うのね。
具体例と抽象の繋がりってのが非常に大切な訳よ。それが数学の理解に繋がっていくと思う訳。

ま、異論が沢山あると思うけどさ…
20 ： ななしのよっしん ：2011/07/03(日) 20:33:13 ID: 0oalOLgDCN
確かに。言いたいことはわかった。
ただ、現状では冒頭の解説が簡素すぎると思うんだ。
整数の演算についてもう少し詳しく加筆した上で、
「詳しくはここへ」ってリンクを貼ろうと思うけど、
それでもいいかい？
21 ： ななしのよっしん ：2011/07/06(水) 06:08:56 ID: TmiiEyksjd
俺は良いよ。
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