単語記事: 方程式

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方程式とは、恒等式でない等式である。

概要

数式の中で、両辺が=で結ばれているものを等式という。その中でも、代入できる値が限られているものを方程式という。

方程式というと、解を求めることが目的であると思われるかもしれないが、必ずしもそうとは限らない。しかし、考察の対象となる場合は何らかの意味を持っていることが多い。勿論、何の意味もなくても、恒等式でない等式ならば方程式である。

代数方程式

多項式=0の形で表される方程式を代数方程式という。

1次方程式

中学1年で1元1次方程式、2年で2元1次連立方程式を学ぶ。

基本的に、移項するか、両辺の定数倍を施すことで解くことができる。連立方程式は片方の文字を消去して1元方程式にし、その解を元の式に代入してもう片方の文字について解く。文字の消去には加減法、代入法のいずれかを用いる。加減法とは、2本の式の両辺を定数倍し、片方の文字の係数をそろえて消去するものである。代入法とは、1本の式を片方の文字について解き、それを他方の式に代入するものである。

2次方程式

中学3年で1元2次方程式を学び、高校1年でさらに詳しく学ぶ。2次方程式の解法は、次の3つに大きく分かれる。

因数分解

左辺を因数分解することにより解を求める方法。ab=0⇒a=0またはb=0という事実を用いる。

例:
x²+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2,1 

平方完成

「因数分解なんて何の役に立つんだよ」という厨2病患者のために、整数の範囲で因数分解できない2次式も存在するため、そのような方程式は平方完成により解を求める。因数分解できる方程式に適用してもよいが、因数分解で解くより手数を踏むのでおすすめはできない。

例:
x²+6x+3=0
x²+6x=-3
x²+6x+9=-3+9
(x+3)²=6
x+3=±√6
x=-3±√6

解の公式

平方完成も途中に因数分解を使っているため(上記の例における3行目から4行目)、重度の厨2病患者はそれすらも拒むだろう。そこで、そんな方々のために、平方完成では手数を踏むので、解の公式を使うことで手数を踏まずに解くことができる。係数を代入するだけで解が求められてしまう、チート級の技。ちなみに、ゆとり教育でこれを学ぶのは高校1年であるため、高校受験で使うとはねられる可能性が高い。

x=(-b±√(b²-4ac))/2a

これは、2次方程式の一般形ax²+bx+c=0を平方完成により式変形したものであるため、末期厨2病患者はこれでさえ拒むであろう。

虚数解とは

係数が実数の1次方程式では、解も必ず実数となる。しかし、2次方程式では実数の範囲に解があるものとないものがある。前述した例はいずれも実数解を2つもつが、x²+1=0は、実数解をもたない。そこで登場するのがiである。iは虚数単位といい、-1の平方根のうちの片方である（もう片方は-i）。解の公式に適用するときは、√(-1)=iとしてよい。これを使うことによって、2次方程式はいずれも解を2つもつことがわかる(重解をもつものは、「同じ値をとる解が2つある」と解釈する)。

3次方程式、4次方程式

高校では因数定理等を使ってこれらを解く方法を学ぶが、因数定理が使える方程式は、ごく限られている。

これらも解の公式が存在し、3次方程式はカルダノの公式、4次方程式はフェラーリの公式が有名。

前述した虚数解は、カルダノの公式が導き出されるまでは認められていなかった。というのも、負の数の平方根は当時の人々の感覚からはかけ離れたものであったからである。実数の範囲に解が存在しない場合、当時の人々は「解なし」と結論づけていた。しかし、カルダノの公式では実数解を求める場合でも計算過程に負の数の平方根が出てきてしまう。そのため、方程式を解く際に虚数の概念を避けて通れなくなったのだ。ちなみに、三角関数の3倍角の公式を応用すると、虚数の概念を用いずに実数解を求めることができる。しかし、これが使える方程式は限られている。

5次以上の方程式

5次以上でも複素数の範囲内に解は存在するが、四則演算、べき根を有限解用いて解く方法は一般に存在しない。但し、代数的に解けなくても解析的に解ける場合がある。

微分方程式

微分方程式とは、未知関数の微分項を含む方程式のことである。より厳密な説明はWikipediaなどを参照してほしい。

微分方程式を解くとは、方程式を満たす未知関数を決定することである。他の方程式のように値を求めるものではないことに注意しよう。数式の操作のみで未知関数を求めることを解析的に解く、と言う。しかし解析的に解ける微分方程式の種類は限られているため、コンピュータを用いて方程式を満たすべき数値の組をはじき出す数値計算という手法が主流である。

例えばある関数の式の形はわからなくとも、X=0,1,2,...の各々についてYの値が判明していればグラフを書くことができるし、グラフから任意のXに対するYの値を推定できるので実用上、関数の式の形が判明したと見なすことができる。微分方程式を数値計算可能な形に置き換えた上で、上の例で言えば、Xの値を次々に変えて代入して行き、対応するYの値をはじき出す。これが数値計算で微分方程式を解くということである。

関連項目

• 数学
• 数式

ページ番号: 3726123 リビジョン番号: 331618
読み：ホウテイシキ
初版作成日: 09/06/19 03:24 ◆ 最終更新日: 09/06/21 17:58
編集内容についての説明/コメント: 微分方程式の説明を追加。
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