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環(数学)単語

カン

環(数学)とは、以下に述べる数学的構造を持つ集合である。の記事も合わせて読むことを勧める。

環とは整数の概念を抽化したものと考えることができる。整数であたりまえであった、割り算によるあまりをめる操作や素数倍数、約数、互いに素、素因数分解の一意性などといった概念が、どのような場合に成り立つのかを環を分類することで考えることができる。

また、特別な環として体を考えることができる。これは四則演算がゼロ除算を除いて自由に行える集合となっている。

以下、整数集合をZ,有理数集合をQ、実数集合をR、複素数集合をCとする。

概要

環とは、+と×の2種類の二項演算を持つ集合であり、それぞれの間に以下の関係を持つ。

  • 加法+に関して可換群である。
  • 乗法×に関して半群である。
  • 分配法則 a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c=a×c+b×c

通常は+の単位元を0、×の単位元を1と書く。和の単位元は通常と呼ぶ。また、積の記号×を・と書いたり省略したりすることが多い。
積の単位元を持つ環を単位元を持つ環、単位的環などと呼ぶ。一般の環は必ずしも単位元を持たない。
元となる環の1以外を単位元とする部分環を作ることが可である。
通常の環は0≠1であるが、0=1とした場合は必ず1元からなる集合{0}となる。これを自明環、あるいはという。

また、積に関して可換であるとき、可換環という。つまり、a×b=b×a。

以下、特に断りがない場合は可換環について記述する。

環の例

  • {0,1}に対して0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=0、0×0=0、0×1=0、1×0=0、1×1=1と定義するとこれは環になる。これは整数を2で割ったあまりで分類した時と同じ構造になっている。
  • 実及び複素係数の行列行列の積を乗法、行列の和を加法として環になる。これは非可換の環でもある。
  • Z、Q、R、Cは可換環である。ZはQの、QはRの、RはCの部分環でもある。
  • Zの部分集合で、nの倍数nZは環になる。これは単位元を持たない環であり、後に述べるイデアルの例となっている。
  • 整数自然数nで割ったあまりで分類したとき、可換環になる。これをZ/nZと書く。
    Z/6Zは{[0], [1], [2], [3], [4], [5]}、演算は[a]+[b]=[a+b]、[a][b]=[ab]で定義される。
    元は[0]、単位元は[1]だが、[2][3]=[6]=[0]であるので元以外の元の積が0になることがある環の一種でもある。このような元を因子といい、因子を持たない条件はnが素数であることである。
    記号についてはオイラーのφ関数を参照。
  • Z[√d]={a+b√d|a,b,dは整数、d≠0}とするとこれは可換環になる。特にd=-1のとき、ガウス整数と呼ぶ。dの値によって因数分解が一意にできるか否かと言った性質が変化する。
  • 環Aを係数とする1変数有限次数の多項式A[X]={a0+a1X+…+akXk|ai∈A}は多項式の和と積を演算として環を成す。これをA上の多項式環と呼ぶ。通常はZ,Q,R,Cのいずれかが係数となる。単位元1(定数関数)、元0(ゼロ関数)。Q,R,Cは体だがZは体ではないためZ[X]のみ他と異なる性質を示す。

環の論理的性質

環の分類

  • 元以外の因子を含まない→整域
  • 任意の元を素元の積で一意に表すことができる→一意分解整域
  • 整域かつイデアルがすべて単項イデアル単項イデアル整域
  • 整域の元aに対して以下の非負整数を返す関数N(a)が与えられている→ユークリッド整域
    • N(a)≧0かつN(a)=0⇔a=0。
    • N(ab)≧N(a)、N(ab)=N(a)となるのはbが単元であるときのみ
    • 全てのa,b≠0に対してa=pb+r (N(r)<N(b))となるq,rが一意に存在する。
  • 元以外の元が必ず積の逆元を持つ、つまり0以外全て単元→

例:nが合成数の時、Z/nZは整域ではない。

例:Z,Q,R,Cは整域である。

一意分解整域は素元分解、つまり整数における因数分解が積の順序を除いて一意にめられる環である。

例:Z[√-5]は0以外の因子を持たないので整域だが、一意分解整域ではない。実際に素元分解が一意でない元が存在する。

例:環Aが一意分解整域である時、多項式環A[X]は一意分解整域になる。多項式環では素元分解因数分解と呼ぶ。これにより、因数分解は積の順序を除いて一意となる。

単項イデアル整域ならば一意分解整域である。逆は必ずしも成り立たない。

例:変数多項式環R[X]は単項イデアル整域。

例:変数多項式環Z[X]は一意分解整域だが単項イデアル整域ではない。

例:変数多項式環R[X,Y]は一意分解整域だが単項イデアル整域ではない。

ユークリッド整域であれば必ず単項イデアル整域である。逆は必ずしも成り立たない。ユークリッド整域はいわゆるユークリッドの互除法が使える環である。

例:Zはユークリッド整域。N(a)=|a|。

例:Z[(1+√-19)/2]は単項イデアル整域だがユークリッド整域ではない。

例:Z[i]、Z[√-2]はユークリッド整域。N(a)=|a|2。一方でm>2のとき、Z[√-m]は単項イデアル整域ではないためユークリッド整域でもい。

例:R[X]はユークリッド整域。N(a)=(f(X)の次数)+1。

例:Z[X]は単項イデアル整域ではなく、従ってユークリッド整域ではない。実際、係数を整数に限定していることが原因で、a(X),b(X)に対し必ずしもa(X)=q(X)b(X)+r(X)、N(b(X))≧N(r(X))とできるとは限らない。

体は0以外の全ての元が単元なので任意のa,b≠0に対して必ずa=qb+0と一意に分解できる。従って、体はユークリッド整域ではあるが、ユークリッドの互除法は意味を成さない。

例:nが素数の時、Z/nZは体になる。

例:Q,R,Cは体である。

単元、零因子の定義

環に関して以下の用を定義する。

  • 環Aに関し、a∈Aが乗法に関して逆元を持つとき、aを単元という。
  • U(A)を単元の集合とする。U(A)は乗法に関して逆元を持つ元の集合なので群になる。
  • あるb≠0に対してab=0になる元aを因子という。0は常に因子である。
  • 0以外の因子を持たない環を整域という。

例:Zは整域である。U(Z)は{-1,1}。因子は0のみ。

例:二次以上の行列M(n,C)は0でない因子が存在する。M(n,C)から因子を排除したものは必ず逆元を持つので、U(M(n,C))は一般線形群GL(n,C)を構成する。

例:U(Z/6Z)は{[1], [5]}、因子は{[0], [2], [3], [4]}。

例:U(6Z)は集合因子は0のみ。

例:ガウス整数Z[i]について、U(Z[i])={1,-1,i,-i}。

例:多項式環R[X]の単元は定数a0因子は0のみ。

例:体は0以外の全ての元が単元である。

既約元、素元の定義

整数素数、多項式で既約多項式が定義できたように、一般の環の元にも既約元、素元といった概念が与えられる。整数においては既約であることと素数であることは一致する。しかし、一般の環においてはこの2つは異なる概念となる。

Aを整域、つまり因子を持たない環とする。Aの0でも単元でもない元aに対して、

  • aがそれ以上分解しない時、つまりa=bcならばb,cのどちらか一方が単元であるとき、aは既約元という。
  • bcがaの倍数ならばb,cのいずれか一方がaの倍数であるとき、aを素元という。

素元ならば既約元」が成り立つ。

aが素元であるとき、a=bcならばb,cのどちらかがaの倍数。b=adとすると、両辺にcを掛けることでbc=a=acdよりcd=1、つまりcが単元となる。aは単元の積であらわされた。以上より、aは素元→aは既約元となる。

しかし、逆「既約元ならば素元」は一般の環では成り立たない

例:Z[√-5]において、2は素元ではない。
6=2×3=(1+√-5)(1-√-5)である。2が素元であるとすると、6=(1+√-5)(1-√-5)が2の倍数ならば(1+√-5)と(1-√-5)のいずれか一方が2の倍数であるはずだが、(1±√-5)/2はどちらもZ[√-5]の元でないため。

例:一方で、Z[√-5]において2は既約元である。
(a+b√-5)が2を割り切る時、(a-b√-5)も2を割り切る。従って(a+b√-5)(a-b√-5)=a2+5b2は4を割り切る。そのようなa,bの組は(a,b)=(±1,0)、(±2,0)、つまり(a+b√-5)=±1,±2のみであり、2=±2×(単元)という形になる。

整域のすべての元が必ず素元の積×単元の形に分解できる時、一意分解整域と呼ぶ。素元分解は積の順序を除いて一意であるためこの呼び方になった。

一意分解整域であれば常に既約元=素元である。また、既約元=素元という条件は最小倍数の存在を認めるという条件と同値になる。

部分環

環の部分集合で、元の環の演算について閉じているものを部分環という。ある集合が環であるかどうかを調べるのは難しいが、なにかの環の部分環になっていることを示す事ができればその集合が環であることを言う事ができる。ただし部分環は元の環の性質を引き継ぐこともあるが引き継がないこともある。

例:Zにおいて、6の倍数の集合6Zは部分環である。

例:ZはZ[i]の部分環。逆に、Z[i]はZの拡大環と呼ぶ。

例:Z[X]はQ[X]の部分環。

剰余環、商環

Aの部分環Xが与えられている時、Aの元a,bに対して次の二項関係~を考える。

a-b∈X → a~b

これは同値関係である。Aの元は必ずaと同値かaと同値でないか、のどちらか一方が成り立つので、同値関係により元を分類する事ができる。同値関係による類別でできた環をA/~やA/Xなどと書き、Xを法とした剰余と呼ぶ。

aと同値関係にある元の集合を[a]と書く。かっこの中身aを代表元という。代表元の取り方によらず集合[a]は一意に決まる。

[a]=a+X={a+x|a∈A、x∈X}と表される。[a]と[b]の演算は

(a+X)+(b+X)=(a+b)+X、 (a+X)(b+X)=ab+X

より、[a]+[b]=[a+b]、 [a][b]=[ab]となる。

記号などの詳細は群の記事も参照。

例:Z/nZはZのnZによる商環である。集合の要素は{[0], [1], …, [n-1]}であり、これはあまりで分類する事に対応する。k番の要素[k]は集合であり、[k]={…, -2n+k, -n+k, k, n+k, 2n+k, …}。

例:R[X]/(f(X))={g(X)∈R[X]をf(X)で割ったあまり}は環を成す。また、f(X)がR係数で既約多項式の時は体になる。

イデアルの定義

イデアルと呼ばれる、環の中でも重要な部分環がある。

環Aに対して二項関係~を考える。

  1. a~b、c~d → a+c~b+d
  2. a~b    → -a~-b
  3. a~b、c~d → a×c~b×d

このように定義すると、これは同値関係になる。
この二項関係についてI={x|x~0、x∈A}と定義すると部分集合Iは以下の性質を持つ。

  • 和に関して閉じている。 a,b∈I → a+b∈I
  • 和の逆元を持つ。 a∈I → -a∈I
  • 任意のAの元との積に関して閉じている。 x∈A、a∈I → xa∈I

1,2番から、Iは和に関する部分群、特にAはアーベル群なので正規部分群である。
また、3番の性質から、1∈IであればI=Aとなる。
非可換環の場合はax∈IとなるIを右イデアルxa∈Iを左イデアル、両方が成り立つ時は両側イデアルと呼ぶ。可換環は左右の区別がなくなるので単にイデアルと呼ぶ。

イデアルの生成

(a1,a2,…an)={a1x1+a2x2+…+anxn|ai∈I、xi∈A}とする。(a1,a2,…an)はa1,a2,…anから生成されたイデアルと呼ぶ。特にn=1の場合、(a)を単項イデアルと呼ぶ。単項イデアル整域であれば複数の元から生成されたイデアルでも特定のひとつの元から生成されたイデアルと一致する。

例:(0)={0}および(1)=Aはイデアルとなる。これは自明なイデアルと呼ばれる。

例:Zにおいて(3)={…, -6, -3, 0, 3, 6, …}、(1)={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}。
Z[√2]において(3)={3a+3b√2|a, bは整数}。

例:整数集合に対してI=(3)とするとこれは3の倍数の集合となる。(3,5)とすると3×2-5=1より、1∈(3,5)なので整数全体と一致する。(4,6)とすると-4+6=2より2から生成されるイデアル、つまり(2)と一致する。
整数は単項イデアル整域であることから、(a1,a2,…an)はa1,a2,…anの最小倍数dから生成された単項イデアル(d)と一致する。

例:R[X]において(f(X))={f(X)g(X)|g(X)∈R[X]}。これは単項イデアルである。

イデアル間の演算

AのイデアルI,Jに対して演算を定義する。

  • I+J={a+b|a∈I、b∈J}
  • IJ={ab|a∈I、b∈J}

I=(a)、J=(b)の時、I+J=(a,b)、IJ=(ab)。IJ⊂I,JなのでIJ⊂I∩J。
I+Jは大公約数を、I∩Jは最小倍数一般化したものと考えることができる。
I+JはI,Jを含むイデアルで最小のイデアル、I∩JはI,Jを含むイデアルで最大のイデアル
I∪Jは必ずしもイデアルとはならないため注意。
1∈I+Jであるとき、あるいは同じことだがI+J=Aであるとき、IとJは互いに素であるという。互いに素であるとき、I∩J=IJ。これはa,bの最小倍数がabになることと対応する。

例:Zにおいて、(6)(10)={6×10の倍数}=(60)、(6)∩(10)={6の倍数かつ10の倍数}=(30)、(6)+(10)={6a+10b=2×(3a+5b)|a,b∈Z}=(2)。(3)(5)=(3)∩(5)=(15)、(3)+(5)=(1)=Z。

例:R[X]において、(X2-1)と((X+1)2)はイデアル。それぞれの演算は、
(X2-1)((X+1)2)=((X-1)(X+1)3)
(X2-1)∩((X+1)2)=((X-1)(X+1)2) (最小倍多項式)
(X2-1)+((X+1)2)=(X2-1,(X+1)2)=(X+1) (最大公約多項式)

素イデアル、極大イデアル

a, b∈A、ab∈I → a∈I または b∈I 
この時、Iを素イデアルという。これは素数に対応する概念である。
環Aの素イデアルによる剰余類は整域である。
(0)が素イデアルであることとAが整域であることは同値。どちらも因子が0以外にいという事をしている。

例:Zにおいて(7)は素イデアル。abが7の倍数であればa,bの少なくとも一方は7の倍数である。
(7)の剰余類Z/(7)=Z/7Z={[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}の元は[0]以外いずれも因子ではないため整域。

例:(6)は素イデアルではない。a=2,b=3とするとa,bはともに6の倍数ではないがab∈(6)。
Z/(6)は[2], [3], [4]が因子なので整域ではない。

例:R[X]において、X2+X+1は既約多項式なので(X2+X+1)は素イデアル
しかし、C[X]において、X2+X+1=(X+(1+√-3)/2)(X+(1-√-3)/2)より、X2+X+1は既約多項式ではないので(x2+x+1)は素イデアルではない。

A,Iに関する包含関係で、I⊂X⊂A となるイデアルXが存在しない時、Iを極大イデアルという。
Aが単位元を持つ可換環であれば極大イデアルが存在する。定義からAは極大イデアルではない。
単項イデアル整域では極大イデアル=素イデアル。極大イデアルIによるAの剰余環A/Iは0以外が逆元を持つので体になる。
(0)が極大イデアルであることとAが体であることは同値。どちらも自明なイデアル(0)、A以外にイデアルが存在しないことを言っている。

例:Zにおいて(7)は極大イデアル。(7)をに包含するイデアルはZ以外に存在しない。Z/7Zは体である。

例:Zにおいて(6)は極大イデアルではない。(6)={…, -6, 0, 6, …}をに包含するイデアルとして(2)={…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …}、および(3)={…, -6, 3, 0, 3, 6, …}が存在する。

例:R[X]においてf(X)が既約多項式であるとき、R[X]/(f(X))は体を成す。
R[X]/(f(X))の任意の元a(X)の逆元について、f(X)とa(X)は互いに素、ユークリッド整域なのでf(X)p(X)+a(X)q(X)=1となる元p(X),q(X)を取ることができる。a(X)q(X)=1-f(X)p(X)1 (mod (f(X)))だからa(X)の逆元は存在し、q(X)をf(X)で割ったあまりとなる。

例:Z[X]において、f(X)=a0+a1X+…+akXkで、a0,a1,…,akの最大公約数が1の時、f(X)を原始多項式と呼ぶ。素数から生成されたイデアル(p)は素イデアルであり、原始多項式から生成されたイデアル(f(X))も素イデアルであるが、(p)⊂(p,f(X))⊂Z[X]となるので極大イデアルではない。

準同型写像

群と同じように、環にも写像を通した準同写像というものを考えることができる。

写像f:A→A’が存在して、Aの元a,bに対して和と積の構造を保存する時、つまり、

  • f(a+b)=f(a)+f(b)
  • f(ab)=f(a)f(b)

が成立する時、準同写像という。写像が全単写、つまりaとf(a)が1対1に対応する場合、写像という。さらに、fがAからA自身への写像の時は自己準同写像、自己同写像という。f(0)=0’、f(1)=1'、つまり元は元に、単位元は単位元に移るという重要な性質がある。

AからA’への同写像が存在する時、AとA'はであると言い、A≅A'と書く。同な環であれば一方に成り立つことがもう片方にも成り立つと言える。

例: f:Z→6Z、f={a∈Zを6aにする} とおくとfは準同写像となる。

例: f:Z→Z/6Z、 f={a∈Zを6で割って余りを返す}とおくと準同写像になる。

例: φ:R[X]→R[X]/(X2+1)、φ={f(X)を(X2+1)で割ったあまりを返す}とすると準同写像となる。

例: Ψ:R[X]→R、Ψ={f(X)のXにaを代入}とすると準同写像になる。

核と像

準同写像により元に移される元は0だけとは限らない。元に移る元の集合といい、Ker(f)と書く。つまり、Ker(f) = {a∈A | f(a)=0'}。A’の核に移るAの集合は、Aのイデアルとなる。これは群の核の逆像が正規部分群となることと対応している。

また、fによるAの像をIm(f)と書く。つまり{f(x)|x∈A}。

例: f:Z→Z/6Zの核Ker(f)は6Z、像Im(f)はZ/6Z。

例: φ:R[X]→R[X]/(X2+1)の核Ker(φ)は(X2+1)。

例: Ψ:R[X]→R、Ψ={f(X)のXにa≠0を代入}について、f(a)=0となる時、f(X)=q(X)(X-a)と書ける。従って、Ker(Ψ)={(X-a)q(X)|q(X)∈R[X]}=(X-a)。

準同型定理

こちらも群と同じように準同定理を考えることができる。

fをAからBへの全射な写像と見た時、B=Im(f)であり、A/Ker(f)≅B。

例:上記Ψの例から、R[X]/(X-a)≅R

例: φ:R[X]→R[i]、φ={f(X)にiを代入する}と決めると、f(i)=0、f(-i)=0となるf(X)がKer(φ)となる。
このとき、Ker(φ)∋(X+i)(X-i)q(X)=(X2+1)q(X)、従ってイデアル(X2+1)が核となる。
以上より、R[X]/(X2+1)≅R[i]=C
この例により、多項式環の商環から複素数体を自然に導入する事ができる。

直積

環A,Bに対して直積集合A×Bを考える。各元は(a,b)と書く。A×Bに対して

  • (a,b)+(a’,b’)=(a+a’,b+b’)
  • (a,b)(a',b')=(aa',bb')

と成分ごとに定義すると再び環になる。単位元1は(1,1)、元0は(0,0)。a2=aとなる元a≠0,1として(0,1)、(1,0)が存在する。これをベキ等元という。

環Aが2つの環の直積と同⇔Aはベキ等元a≠1をもつ。

同様にしてA1、 A2, …, Anの直積A1×A2×…×Anを作ることができる。この事実により、複雑な構造を持つ環をより単純な構造の環の直積で表現する事ができる。

例:Z/6Zはベキ等元として[3]と[4]を持つ。Z/6ZはZ/2ZとZ/3Zの直積集合Z/2Z×Z/3Zと同である。Z/6Zの元を[a]、Z/2Z×Z/3Zの元を([a],[b])と書くと、以下の一対一対応が存在する。
[0]=([0],[0])、[1]=([1],[1])、[2]=([0],[2])、[3]=([1],[0])、[4]=([0],[1])、[5]=([1],[2])
このことから、Z/6Zの部分集合{[0], [2], [4]}は環を成し、単位元が[4]となる事が分かる。ベキ等元の存在から、部分環の単位元が元の環と一致しない場合がある。

中国の剰余定理

中国剰余定理中国剰余定理、中国人剰余定理などと呼ばれる。なぜ中国なのかは該当記事を参照。

  • I,Jが環Aのイデアルで1∈I+Jであるとき、I∩J=IJで、次の同写像が存在する。
    A/(I∩J)≅A/I×A/J
  • より一般に、I1,I2,…,Inが環Aのイデアルでどのi,jに対しても1∈Ii+Ijであるとき、
    I1∩I2∩…∩In=I1I2…Inで、次の同写像が存在する。
    A/(I1∩I2∩…∩In)≅A/I1×A/I2×…×A/In

IJ={ab|a∈I、b∈J}であることを確認する。IJ⊂I、IJ⊂JなのでIJ⊂I∩J。1=a+b、a∈I、b∈Jと置くと、あるx∈I∩Jに対してx=xa+xb。a∈I、x∈Jであるのでax∈IJ、またx∈I、b∈Jなのでbx∈IJ。したがって、IJ⊃I∩J。以上よりIJ=I∩J。

次に、f:A → A/I×A/J、f(a)=(a+I,a+J)を考えると、a∈Iかつa∈Jが核となるので、Ker(f)=I∩J。
また、1=a+b、a∈I、b∈J、任意のx,y∈Aに対し、z=ax+byとおくと、z-x=(a-1)x+by=bx+by∈J、z-y=ax+(b-1)y=ax+ay∈Iだからf(z)=(y+I,x+J)。従って、fは全射である。
準同定理により、A/(I∩J)≅A/I×A/J。

2個以上の環の直積である場合、前半は数学的帰納法明する。後半について、

Ji=I1∩…∩Ii-1∩Ii+1∩…In=∩j≠iIkとすると、J1,J2…Jnをすべて含む極大イデアルは存在しない。
従って、1=a1+a2+…+an (ai∈Ji)と書くことができる。
1ai (mod Ii)に注意すると、n=2の場合と同様に、f:A→A/I1×A/I2×…×A/Inf(x)=(x+I1, …, x+In)が全射となる。x=a1x1+a2x2+…+anxnと置けば、任意のiに対してx+Ii=aixi+Iiである。
従って、準同定理により、A/(I1∩I2∩…∩In)≅A/I1×A/I2×…×A/I

例:5で割ると2、7で割ると5、11で割ると4あまる整数が5×7×11を法として一意に存在する。
言いかえると、Z/385Z≅Z/5Z×Z/7Z×Z/11Z となるような、1つの数に対して3つの数が一対一で対応する写像が存在するという事。
解法
I1=(5),I2=(7),I3=(11)なので、J1=(7)(11)=(77)、J2=(11)(5)=(55)、J3=(5)(7)=(35)。
ユークリッドの互除法より、
1=3×77-46×5=3×77-46×(5×(11×2-7×3))=3×77-92×55+138×35=231-5060+4830
なので1=a1+a2+a3=231-5060+4830
x=a1x1+a2x2+a3x3=2×231-5×5060+4×4830=-5518=385×(-15)+257
める解は257。実際、257は5で割ると2、7で割ると5、11で割ると4あまる。

例:x2+x+1で割ると-x+1あまり、x2+xで割るとx+1あまり、x2+1で割るとx+2あまる多項式が(x2+x+1)(x2+x)(x2+1)=(x6+2x5+3x4+3x3+2x2+x)を法にして一意にまる。
整数の例と同様に計算する。める式は(x5-3x4-4x3-5x2-3x+2)/2。

関連項目


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スマホ版URL:
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読み:カン
初版作成日: 18/06/29 08:41 ◆ 最終更新日: 18/09/02 21:44
編集内容についての説明/コメント: 因数分解を追加
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環(数学)について語るスレ

1 : ななしのよっしん :2018/07/22(日) 00:42:44 ID: lGQH4tYalw
です 内容かなり充実してきましたね
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