単語記事: 白銀比

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白銀比とは、1:1.414…として表されるである。

概要

まず、長方形を1つ考える。長いほうの辺を半分にすると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺の白銀比という。

もっと具体的にいうと、1:√2である。このは古くから日本の建造物に用いられている。2辺の白銀比であるような長方形を白銀長方形といい、印刷にも使われている。

白銀長方形の作図法です。作図法

白銀長方形のよく知られた作図法を紹介する。

  1. 正方形ABCDを作図する。
  2. Bを中心とした、半径BDの円を描く。
  3. 辺BCをCのほうに延長し、2.で描いた円との交点をPとする。
  4. Pを通り、辺BCに垂直な直線を描く。
  5. 4.で描いた直線と、辺ADの延長線との交点をQとする。
  6. 長方形ABPQが、白銀長方形である。

証明

白銀長方形の証明です。上記のとおり作図したとき、長方形ABPQ白銀長方形であることを示す。

Bを中心とした、半径BCの円を描く。
その円と対BDとの交点をEとする。
EPを結ぶ。
Eを通り、辺BCに垂直な線を描き、辺BCとの交点をP',辺ADとの交点をQ'とする。

辺BCと線分BEは長さが等しい。
BDと線分BPも長さが等しい。
CBDとEBPは同じ。
よって、三角形BCD三角形BEP合同
よって、三角形BEPは、BPを斜辺とした直二等辺三角形である。
線分EP'は線分BPに垂直なので、三角形BEP'と三角形PEP'は合同
よって、P'は線分BPの中点である。
したがって、長方形ABP'Q'は、長方形ABPQの長いほうの辺を二等分して得られる長方形である。・・・(1)

線分EP'と線分DC行なので、三角形BEP'と三角形BDCは相似。
よって、線分の長さので、BP':BE = BC:BDが成り立つ。
線分BE,線分BCは線分BAと長さが等しく、線分BDは線分BPと長さが等しい。
よって、BP':BA = BA:BPが成り立つ。
したがって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQは相似。・・・(2)

(1),(2)より、長方形ABPQは、白銀長方形である。 

別証 

前述の明は、白銀比の具体的な値を用いない明である。しかし1:√2であることがわかれば、「ピタゴラス一発」でだいたい通じる。ちゃんと書こうとすると次の通り。

辺ABの長さをaとする。
ACの長さもaなので、ピタゴラスの定理より対BDの長さはa√2である。
よって、線分BPの長さもa√2である。
したがって、辺ABと線分BPの長さのは、1:√2である。
ゆえに、長方形ABP'Q'は白銀長方形である。

関連項目


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読み:ハクギンヒ
初版作成日: 10/11/26 21:38 ◆ 最終更新日: 10/12/07 20:44
編集内容についての説明/コメント: √2を使わずに証明できたので、書き換えました。
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白銀長方形(修正)

白銀長方形(証明)

白銀長方形

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白銀比について語るスレ

3 : expo_one :2010/12/07(火) 19:43:46 ID: /REQYK73HD
補助線追加。

タイトル:白銀長方形(修正)
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4 : ななしのよっしん :2010/12/28(火) 20:31:14 ID: 1Z4q5VneB3
A4とA5のの長辺と短辺の率が同じなのはこういうことなのか
5 : ななしのよっしん :2011/05/07(土) 09:08:41 ID: 6tueXmGFQu
白銀比はもう一つあるぜ
1:2.414...
詳しくはウィキペディアでも
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD%E9%8A%80%E6%AF%94
6 : ななしのよっしん :2011/05/09(月) 11:13:23 ID: /REQYK73HD
>>5
そっちはとしての性質がわかりづらいんで、
個人的にあまり好きではないんですよね~。
正方形2個分除いたら相似」って言われても、
「だから何?」って思うだけで。
ググっても1:√2のほうが多くヒットしますし。
私の無知だったらごめんなさい。
7 : ななしのよっしん :2012/02/27(月) 15:11:47 ID: irYunJb1Bv
”ってのもあるんだなぁ
8 : ななしのよっしん :2012/02/29(水) 18:24:45 ID: eP2Jsv7ly3
ある先生から聞いた話。
1:√2(白銀比)の√2を仮に1.4とします。
そしてこのの1の部分を5とします。
1:1.4=5:xより、
x=7
つまり5:7もおよそ白銀比と言えます。
5、7、5の日本の歌といえば・・・

古い日本の言葉の韻にも白銀比があるかもね!
9 : ななしのよっしん :2015/12/10(木) 15:19:34 ID: Wk6OfZ/Six
(短い辺):(長い辺)=1:φ となる二等辺三角形である三角形はよく話題になるけど、

1:√2となる二等辺三角形の話題はあんまりにしないな、数学的にあまり意味がいのかな。
10 : ななしのよっしん :2015/12/12(土) 00:03:40 ID: /REQYK73HD
>>9
>1:√2となる二等辺三角形
それは直二等辺三角形なので、意味はかなりあると思います。
11 : ななしのよっしん :2016/09/28(水) 23:15:20 ID: fhjm9EsZQ2
つかそもそもモデル自体
人類の歴史の中ではごくごく最近に出てきたものだし

それが人類の普遍的な美とは全然思えない
12 : ななしのよっしん :2016/11/05(土) 15:22:45 ID: TWrStce2R+
>>9>>10
三角形調べてみたけど、普通は側辺の方が長くて側辺:底辺φ:1てなってるな
これだと側辺:底辺=√2:1の三角形は確かにかな
一方で三角形の場合は、側辺と底辺を逆にしても正五形に対線引くと現れるから、そこが黄金比意味深な所か
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