単語記事: 立方根

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立方根とは、ある数に対して「3乗してその数になる」ような数である。3乗根とも言う。

概要

体積がわかっている立方体があるとする。この立方体の1辺の長さをめるにはどうすればよいか。立方体の体積は、1辺の長さを3乗すればめることができる。よって、この逆の対応を考えればよい。つまり、3乗して体積の値になる数をめればよいのである。このときの、体積から1辺の長さへの対応が立方根なのである。

定義と性質

aの立方根とは、b3 = aを満たすbのことである。

実数の立方根は、必ず実数の範囲内に立方根がただ1つ存在する。

実数aに対し、aの立方根で実数になるものをaの実立方根と呼び、3√aと書く。

実数a,bに対し、3√a×3√b = 3√(ab)が成り立つ。

求め方

ここでは、実立方根め方を、手間のかからない順に紹介する。ちなみに、定規とコンパスによる作図は不可能

関数電卓を使う

  1. 立方根めたい数を入する。
  2. 3√」を押す(もしくはそれに相当する機を使う)。

Googleを使う

  1. 立方根めたい数を検索に入する。
  2. 続けて、「^(1/3)」と入する。
  3. 検索ボタンを押す。

計算尺を使う

  1. K尺の、立方根めたい数に盛りを合わせる。
  2. D尺の、盛りがしている値を読む。

紙と鉛筆を使う

開立法」の記事を参照。

虚立方根

0以外の実数の立方根には、虚数となるものも存在する。そのような立方根を虚立方根という。

まず、1の虚立方根から考えてみよう。1の立方根は、x3 = 1の解である。これを実際に解くと、x = 1,(-1±i√3)/2である。このことから1の虚立方根は(-1±i√3)/2であることがわかる。記号では片方をωと書く。するともう片方はω2となる。一意的な表し方ではないが、ωω2はたいていセットで出てくるので、その場合の結論は一意的になる。どうしても区別する必要がある場合はω = (-1+i√3)/2とすることが多い。

一般に、実数aの虚立方根は、ω3√a,ω23√aとなる。実立方根とまとめてωk3√a (kは整数)と書くこともある。

複素数の立方根

立方根は実数に限らず、複素数にも存在する。0以外なら必ず3つある。

素数を極形式でr∠θ(= reiθ)と表すと、その立方根の1つは3√r∠(θ/3)となる。あとの2つは、それにωω2を掛けたものである。詳しく書くと次のとおり。作図不可能とは、定規とコンパスのみで作図できない、という意味。右図は6.の段階の図である。

  1. 座標面を用意する。複素数の立方根を求めた図です。
  2. 立方根めたい数の実部をx座標、虚部をy座標にとる。
  3. 2.でとった点と原点を結ぶ。
  4. x軸の正の方向と、3.でめた線分とのなすを3等分する(作図不可能)。
  5. 3.でめた線分の長さの実立方根める(作図不可能)。
  6. 4.でめた3等分線のうち、x軸の正の方向から反時計回りに見て、先にあるほうの線上に、原点から5.の長さだけ離れている点をめる。
  7. 6.でめた点を、原点を中心に120°回転した点、さらに120°回転した点をとる。
  8. 6.と7.でめた点それぞれについて、x座標を実部、y座標を虚部とする複素数める。

関連項目


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読み:リッポウコン
初版作成日: 11/03/16 13:55 ◆ 最終更新日: 11/03/20 19:05
編集内容についての説明/コメント: 求め方を追加。
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立方根について語るスレ

1 : expo_one :2011/03/16(水) 14:07:27 ID: ysHM+R4Naj
編集者です。
図がゴチゴチャするといけないので手順6.まで描きました。

タイトル:複素数の立方根
画像をクリックして再生!!
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2 : ななしのよっしん :2011/10/04(火) 20:01:32 ID: 5g/SqcPan4
普通電卓でも任意の実数[n]の立方根の近似値は
[n][√][√][×][n][√][√][√][√][×][n][√][√][√][√][√][√][×]…とか
[n][√][√][×][n][=][√][√][×][n][=][√][√][×][n][=]…とかでめられる。
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