単語記事: 素数

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素数prime number)とは、自然数のうち自身と1でしか割り切ることのできない数のことである。但し1を除く。

暗号理論や精安定剤として重用される。

1000以下の素数一覧

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

続きがもっと見たい、という方は「素数の一覧」を参照。

数学的性質

素数という概念は、紀元前1600年ごろには(部分的にだが)知られていたようである(ソースWikipedia)。にも関わらず、双子素数の予想、ゴールドバッハの予想、リーマン予想など、素数に関連する多くの予想が現在も未解決のままである。それゆえか、素数秘的な数と言われたりもする。

また、大きな数の素因数分解は困難であるため、暗号理論に応用されている。

環論における既約元、素元は、素数の概念の一般化である。

素数は無限に存在する

有名なユークリッドによる明(『原論』第9巻命題20, 紀元前3世紀頃)を紹介する。他にもたくさんの明が存在する。詳しくは素数が無数に存在することの証明 - Wikipediaを参照。

素数が有限個しか存在しないと仮定する。素数の全体を p1, p2, ... , pn とおく。ここで、新たな数 p = p1×p2× ... × pn +1 を考える。p を p1 で割った余りは1だから、p は p1 で割り切れない。同様に p2, ... , pn でも割り切れない。よって p は素数である。一方、 p はどの p1, p2, ... , pn よりも大きい。だがこれは素数の全体が p1, p2, ... , pn であることに矛盾する。よって素数限に存在する。

素数定理

素数自然数の中にどのぐらいの「割合」で存在するのかを示唆する定理であり、18世紀末ガウスやルジャンドルによって予想され、1896年にプーサンとアダマールによって独立明された。詳しくは素数定理 - Wikipediaを参照。

正の実数 x に対して、x 以下の素数の個数を π(x) と表す。このとき、π(x) と x/log x の増加速度は "同じぐらい" である。正確に言うと、 limx→ π(x) / (x/log x) = 1 が成り立つ。

2018年1月現在確認されている最大の素数

277232917-1である。(2018年1月にGIMPSにより発見

十進数で2324万9425桁にも及ぶ。

また、メルセンヌ素数(2n-1で表せる素数)の中で人類が発見したものを小さい順に並べたとき、50に来るメルセンヌ素数である。ちなみに、1〜45メルセンヌ素数までは「隙間なく」発見されているが、45, 46, 47, 48, 49, 50メルセンヌ素数の間にまだ発見されていないメルセンヌ素数が存在するのかどうかはわかっていない(2018年2月現在)。詳しくはメルセンヌ数および巨大な素数の一覧(いずれもWikipedia)を参照。

100以下の素数の覚え方

さん 五時に セブン イレブン 父さん 「いーな」と ついて いく。
2 3 5 7 11 13 17 19
兄さん 屋に さぁ行こう。 南は 良いとこ。 与作 死なない。
23 29 31 37 41 43 47
誤算の 悟空 6位。 しく ない。
53 59 61 67 71
奈々さん 泣くな。 ハチさん 吐くな。 苦難のを乗り越えよう。
73 79 83 89 97

素数の利用例

『落ち着け、素数を数えるんだ。』

上記台詞漫画ジョジョの奇妙な冒険ストーンオーシャン」にてプッチ神父が使用したことにより、慌てふためいた発言や言動に対して落ち着かせるために使用される。神父く、「素数は1と自分の数でしか割ることのできない孤独な数字・・・。わたし勇気を与えてくれる」

ただしこれは「素数を数えれば落ち着く」元ネタではく、それ以前でもスティーブン・キング小説などで見られた表現である。

またニコニコ動画内では、動揺するような場面が出てきた場合、「2、3、5、7、11、13……」と素数コメントしたり、動画内で素数を数えるMADが出てきたりなど、様々な活用が見られる。

もっとも、動揺しすぎて「2、4、6、8・・・」となぜか偶数を数え始めるものや、⑨を素数するものも多数存在している。

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読み:ソスウ
初版作成日: 08/05/20 12:29 ◆ 最終更新日: 18/02/06 03:55
編集内容についての説明/コメント: 関連項目にメルセンヌ数追加、順序微修正
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素数について語るスレ

179 : ななしのよっしん :2017/11/16(木) 21:26:18 ID: aNj1EAdR8w
確認されている最大の(つまり1番に大きい)素数が、メルセンヌ素数の中では49に大きいとか、意味不明な文章になってるよ……
180 : ななしのよっしん :2017/12/17(日) 22:56:02 ID: TlvaJk8uNN
>>176
虚数には共役がいるだろ
181 : ななしのよっしん :2018/01/05(金) 08:46:12 ID: G5BClIVQcS
新しいメルセンヌ素数が見つかったぞ

2^77,232,917-1

http://www.sciencemag.org/news/2018/01/largest-prime-number-now-has-more-23-million-digits
182 : ななしのよっしん :2018/01/16(火) 09:38:44 ID: 6YQJaEpWig
メルセンヌ素数じゃない素数は効率が悪くて探す気にならんのかな?
183 : ななしのよっしん :2018/01/16(火) 15:06:17 ID: Kg5+Pdldd3
フェルマー数 F_n=2^2^n+1 は F_4=65537 が素数だけど、それより大きいフェルマー素数は見つかってないみたい 2014年時点で 5≦n≦32 までが合成数であることがわかっているようだ
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fermat_number
184 : ななしのよっしん :2018/01/31(水) 09:34:31 ID: 2hRCn0ByzH
全ての素数を掛けた数は偶数か?
185 : ななしのよっしん :2018/01/31(水) 09:52:54 ID: nnP1lLvRia
当たり前じゃん最初が偶数(2)なんだから
186 : ななしのよっしん :2018/01/31(水) 10:04:05 ID: 2hRCn0ByzH
自然数Nをすべての素数の積と仮定する
N+1はNのいかなる約数でも割り切ることができないのでN+1は素数
しかしNの仮定と矛盾する
全ての素数を掛けた数なんてものはないが正解 あえていうなら自然数ではありえないから偶数でも奇数でもない
187 : ななしのよっしん :2018/02/02(金) 05:51:52 ID: Kg5+Pdldd3
2^n-1, 3^n-2, 4^n-3, ... などメルセンヌ数の拡で m^n - (m-1) が素数かどうか調べてみるのはどうでしょう
188 : ななしのよっしん :2018/02/11(日) 10:13:34 ID: nnP1lLvRia
>>186
答えは沈黙か~
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