単語記事: 自己言及のパラドックス

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自己言及のパラドックスとは、自身を含めて言及しようとして起こるパラドックスのことである。

概要

パラドックスとは、簡単にいえば「当然の論理からありえない結論を導く」という状態のこと、またはここでいう「論理から結論を導く(間違った)プロセス」のことで、事実事実から仮想を事実にしようとする野心的な試みである。

自己言及のパラドックスとは、「A → A」という形式の単純な論理が実は間違っているというパラドックスである。
とくにAしか肯定できない状況において「Aは偽である」と明言することで発生する。

「この文(の偽)は偽物である。」という文章はそれを分かりやすくした例である。
もし「この文は偽物である。」がである場合、文そのものが肯定されて偽となり、ではなくなる。
もし「この文は偽物である。」が偽である場合、文そのものが否定されてとなり、偽ではなくなる。
結果、どちらを選んでもパラドックスが発生する。
これは「」内の文章(自己)に言及して否定しているために発生している。

身近な所を挙げれば、「『禁止』と書かれた」・「『静かにしろ!』という怒鳴り」・「『例外のない規則はない』という規則」・「『その質問には回答しない』という回答」・「『ありえないなんて事はありえない』という台詞」等々、自己言及のパラドックスは世の中にありふれている。

自己言及のパラドックスは原理上「無限ループ」そのものであり、従ってプログラマーなどの情報処理技術者はこれの回避方法を習得するのが必須となっている。

例を用いた考察(嘘つきのパラドックス)

このパラドックス聖書に書かれている「クレタ人のパラドックス(エピメニデスパラドックス)」として古くから知られている。

クレタ人の預言者エピメニデスが言った。「クレタ人はみんなうそつき、けだもの、ぐうたらだ」。
これは真実である。

――新約聖書テトスへの手紙」、1章12節

この発言を肯定すると、エピメニデスを含めたクレタ人は「うそつき」ということになり、彼の発言もになってしまう。しかし発言がであればクレタ人はをついていないことになり、従ってクレタ人である彼の発言はではなくなり肯定されてしまう。
かくして自身を含めて言及したためにパラドックスが発生し、肯定と否定の無限ループが起こる。

ニコニコ動画に言えば「「コメントフォームが表示されない」と動画内でコメントする」に例えられる。
ただしこれは仮定ではなく「コメントできた」という事実があるので、パラドックスというよりも怪奇現か単なるかもしれない。

さらなる考察

クレタ人のパラドックスを分析すると、大きく分けて4つの意味があると思われるので、これを分けて考えてみたい。

  • ①全てのクレタ人は常にをつく。
  • ②あるクレタ人は常にをつく。
  • ③全てのクレタ人はをつく事がある。
  • ④あるクレタ人はをつく事がある。

背理法で明すると、①の否定は「全てクレタ人は常にをつく。」訳ではない、つまりあるクレタ人は本当の事を言う事がある。これ自体は納得出来る所でしょ う。また同じく②の否定、全てのクレタ人はをつく事がある。これ自体も論理的にはパラドクスとも呼べないもので、ある時点・定義さえ定めれば「全てのクレタ人」がをつくか否かは判別可である。③も同様、あるクレタ人が常に本当の事を言うというのを遡るにしろ今後確かめるかすれば良いし(ひとつでも立出来れば十分)、④も③と同様である。本来パラドクスとも呼べない物(をつくか否かは偶然の物でこの文自体は何ら自己言及らしき物がい為)がパラドクスの代表格に押し上げられたのは、隠された前提がある為と思われる。

では次の例はどうだろうか。

このページに書かれていることはすべてである。

もちろんこのページに書かれたことが全てなら「このページに書かれていることはすべて」という文がであるということになり、パラドックスが生じる。しかし、少しでも正しいことがあれば「すべて」はになる(真実ではない)が、パラドックスは生じない。

では自己言及文をもっと範囲を狭めてみよう。

私のこの発言はである。(これはつまり最初の発言のクレタ人が発話者一人に限られる場合である)

この文をと仮定すると明らか矛盾するので、少なくともではない。一方偽だと仮定すると「私のこの発言はである。」真実通りの事を述べている事になる、よって少なくとも偽ではない。結論はでもなく偽でもない。解説によってはこれで「パラドックス」とするのもあるが、偽の定まらない文だからといって端的に「パラドックス」とは言えない。というのも多少抜け的だが偽の定まる文、叙文というのだが、それについてか偽か言うのが通常であって偽の定まらない文、つまり命令文(~してくれ)や感嘆文(ああ、なんて○○なんだ!)、意味不明な文(天国べて暴)という部類のその他の文の範疇に収めれば解決するからである。

そろそろ冗長になってきたので、一応のパラドックスはというと

私のこの発言は本当ではない。

これはと仮定すると「本当ではない」というのがなのでではなくなる、また偽だと仮定すると「本当ではない」という本当の事を言っているので偽でもない。つまり「でも偽でもない」という事になる、と仮定出来る。が初めに「本当ではない」と言っているのでこの仮定も成り立たない。(この文がというだけではなくその中間の状態ですらないという事なので)つまり正正銘のパラドックスといえる。だがこれが実際問題になるかというと矛盾した文自体は「明日北緯135°東経35°地点にが降るか降らない」というように不思議な感じには受け止められず単なる矛盾した文という位置づけと一緒である。どのような文もそれが叙文ならば言外には「この文はである。」という一句を含んでいるので「私のこの発言は本当でありかつ本当ではない。」と言った文であるのが最後の例文の簡単な説明である。

その他の自己言及のパラドックス

嘘つきパラドックス自己言及のパラドックスの一種ではあるが較的簡単に理解出来る物の一つである。以下別の形をした物をいくつか例示する。(中にははっきりとパラドックスと言えない物もある)

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ページ番号: 4206630 リビジョン番号: 2233563
読み:ジコゲンキュウノパラドックス
初版作成日: 09/11/14 16:08 ◆ 最終更新日: 15/07/18 12:30
編集内容についての説明/コメント: 説明の前に文が入っているため、誤解される恐れあり。一度冒頭の文と改行を消去。クレタ人のパラドックスに聖書の言及箇所を追記、他推敲
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自己言及のパラドックスについて語るスレ

123 : ななしのよっしん :2016/12/15(木) 17:15:55 ID: qoWBbogyhS
悩みがないことが悩みである
これも自己言及のパラドックスになる?
124 : ななしのよっしん :2016/12/15(木) 17:22:31 ID: ThEk8vCS6x
匿名掲示板に書いてある事なんて信用するな
125 : ななしのよっしん :2017/01/15(日) 23:58:24 ID: ijKx+Yo6yV
懐疑義の信仰
126 : ななしのよっしん :2017/02/11(土) 14:12:45 ID: FYoMVpOC9l
この言葉聞くとタチコマ思いだす
127 : ななしのよっしん :2017/07/06(木) 16:29:08 ID: HqO0Fsm/6S
「クレタ人のパラドックス」の、自身が含まれる集団の偽を言及することによって、自身の発言そのものの偽が不確かになるってのはまぁ分かるんだけど(さらなる考察よくわかんない)、
概要の「この文は偽物である」の偽ってどういうことなの
・「この文は偽物である」()→この文は偽物
・「この文は偽物である」()→この文は偽物でない
で終わりじゃないの?難しい……
128 : ななしのよっしん :2017/07/06(木) 17:14:51 ID: ijKx+Yo6yV
>>127
メタを導入してるようなのでそれでおk
そんな感じで文そのものの言及について同じ階層レベルとして捉えない解釈をするという解決方法もある
129 : ななしのよっしん :2017/07/06(木) 22:41:32 ID: pGdyKpYDP6
文章に対して偽物という表現自体がまず良くないわな
偽の文字使いたかったのかもしれんが「この文はである」の方が分かりやすい
んで「この文」がすものが「この文はである」自体という前提で読めば分かるんじゃないかね

まぁそれ以前に背理法の下りがデタラメだったり改行全然しないせいでくっそ読みにくかったりするわけだが
130 : ななしのよっしん :2017/08/25(金) 10:50:22 ID: NdBInJIiJz
S:この命題ではない
背理法を試す。Sはであると仮定する。
①S 仮定
②¬S Sの意味から
③S∧¬S ①と②から連言導入規則→矛盾
結論:¬S ③から背理法→①の否定
Sはではないことの了。でもこれはSは「Sはではない」というなので、なることを述べている。ゆえに矛盾

131 : ななしのよっしん :2017/08/25(金) 10:51:25 ID: NdBInJIiJz
Sはではないと仮定する。
①¬S 仮定
②¬(¬S) ①からSの意味により
③S ②から二重否定規
④¬S∧S ①③から連言導入規則→矛盾
⑤¬(¬S) ④から背理法
結論:S ⑤から二重否定規
Sはであることの明。
132 : ななしのよっしん :2017/08/25(金) 10:52:52 ID: NdBInJIiJz
Sをではないと仮定しても、Sをであると仮定しても矛盾する。
但し背理法は仮定である、ゆえに仮定の否定しかできていない。よって明出来たのは「Sはである」ことはないこと、「Sはではない」ことはないことの2つを明しただけ。結論はSは「である」と「ではない」との中間状態にある。しかしこれは排中に違反する。
すると他にあり得るのはSは命題ではないと考える。S:「xという命題ではない」という命題関数の一例と見る。
であるという述Φとする。Φxは命題を変更とし、xになる命題を入れるとなる命題を生じ、偽なる命題を入れると偽なる命題を生ずる命題関数である。すると、「この命題ではない」は¬Φxという命題関数である。
「この命題ではない」の中の「この命題」はS全体だから、¬Φx自信に¬Φxを適用していることになり、Sは¬Φ(¬Φx)という事を述べている。命題しか代入出来ないはずの¬Φxのxに命題でないものを代入しているのがS。
xは命題であるという意味論的前提にした場合の解法。
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