単語記事: 自然対数の底

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自然対数の底(しぜんたいすうのてい)とは、

   2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...

と表される越数である。「しぜんたいすうのそこ」ではないので注意。

一般的にlimn→(1+1/n)nで定義される値である。
もしくはlimn→0(1+n)1/nで書く場合もある。 
これは高校大学等によって異なる時もあれば両方教える時もある。

概要

慣習的にアルファベットの e で表される。

対数の研究に業績のあるイギリス数学ジョン・ネイピアの名前から「ネイピア数」とも呼ばれる。レオンハルト・オイラーの業績により「オイラー数」とも呼ばれる。

この定数は、指数関数対数関数微分においてしばしば登場する。特に、ex微分するとexとなり、loge xを微分すると1/xとなる。このように、微分において非常に扱いやすい数であるため、数・対数関数というとeを連想する人も多いだろう。exexp(x)、loge xをlog xと書く場合もある。しかし、log xは常用対数でも用いられるので、混同を避けるためln xと書くこともある。

また、自然対数の底を用いた公式としては「オイラー公式」が知られている。

iを虚数単位(i2=-1)とするとき、θラジアンに対し

eiθ = cosθ+ i sinθ

これにおいてθ=π(円周率)の時は「オイラーの等式」と呼ばれ、数学の式の中でも最も美しいものの中の一つに数えられる。

eiπ + 1 = 0

求め方

理系でないと知らないようなこの数だが、普通電卓でも割と簡単に計算できる。手順は次の通り。

  1. [MCを押す。
  2. 1[M+] と入する。
  3. そのまま ÷1[M+] と入する。
  4. さらにそのまま ÷2[M+]÷3[M+]÷4[M+]… と続ける。
  5. 表示が 0 になるまで繰り返す。
  6. [MR] を押す。

但し、表示される下何桁かは誤差を含んでいるので要注意。

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ページ番号: 834273 リビジョン番号: 2363693
読み:シゼンタイスウノテイ
初版作成日: 09/01/07 16:47 ◆ 最終更新日: 16/05/19 22:35
編集内容についての説明/コメント: 求め方を微修正。
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自然対数の底について語るスレ

52 : ななしのよっしん :2015/12/12(土) 19:10:11 ID: ZmSARSXg14
大学の教科書だとまずexp(x):=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…と定義してからe:=exp(1)とする場合が多い。
こうするとe^xの微分がe^xになるのは自明
53 : ななしのよっしん :2015/12/15(火) 16:05:48 ID: vodAV5xQuX
exp(x)のマクロリン展開(とりあえずx^10まで)にx=1を当てはめると
1+1/1!+1/2!+...+1/10! < e ⇒ 2.71828011463 < e

x=-1を当てはめると
1-1/1!+1/2!-1/3!+...-1/9! < 1/e < 1-1/1!+1/2!-1/3!+...+1/10!
⇒2.71828165766 < e < 2.71828369390

「eが2.72以下であることを明せよ」って入試問題いつしか出そう
54 : ななしのよっしん :2016/01/28(木) 15:33:58 ID: glVlLoJHWL
>>53
マクロリン展開が高校の範囲外やから当分でないと思うで
55 : ななしのよっしん :2016/02/27(土) 19:46:19 ID: GTgVbVSDYt
http://server-test.net/math/php_q.php?name=tokyo&v1=1&v2=2016&v3=1&y1=2016&n1=1&y2=2016&n2=2&y3=2016&n3=3&y4=2016&n4=4&y5=2016&n5=5&y6=2016&n6=6&y7=0000&n7=0
今年の東大の問題で自然対数の底の問題が出てきた
<<53と違うけどずばり不等式明問題

<<54
マクロリン展開そのものは出せないけど、有限個の項で打ち切って不等式で挟めば出せそうだから絶対に出ないとは言い切れないかもしれませんね
56 : ななしのよっしん :2016/03/05(土) 21:35:35 ID: GTgVbVSDYt
ちなみに入試問題でe≦2.72を示したいなら

f(x)=e^(-x)-(1-x+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!-x^5/5!+x^6/6!-x^7/7!)とおく。
f(x)のn回微分をf^(n)(x)と表記。

1~7回微分f^(1)(x),f^(2)(x),f^(3)(x),f^(4)(x),f^(5)(x),f^(6)(x),f^(7)(x)について、
f(0)=f^(1)(0)=f^(2)(0)=f^(3)(0)=f^(4)(0)=f^(5)(0)=f^(6)(0)=f^(7)(0)=0

また8回微分f^(8)(x)=e^(-x)>0
これよりf^(7)(x)は単調増加となる。
このこととf^(7)(0)=0よりx>0でf^(7)(x)>0が示される。

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
57 : ななしのよっしん :2016/03/05(土) 22:04:54 ID: GTgVbVSDYt
ちなみに>>55東大の問題でもe<2.72は一応示せるね。

問題中の明すべき式(1+1/x)^x<e<(1+1/x)^(x+1/2)について、
右側の(1+1/x)^(x+1/2)は単調減少でeに収束するから(むしろこれを明する問題なんだけどね)、適当な大きめのxを持って来れば原理的に計算は可

例えばx=11とすると、e<(1+1/11)^(11+1/2)=(12/11)^11.5=(12/11)^11・√(12/11)=2.71999…<2.72となって理論上は明可

ただし計算が非常にシビアで面倒(↑は電卓使いました)

手計算でやりたいなら、(12/11)^11・√(12/11)<2.72を示すために
√(12/11)<2.72・(11/12)^11が示せればよいね。

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
58 : nの3乗 :2016/08/09(火) 20:19:18 ID: 4IorH4Sf5G
テトレーションでは自然対数を使うと、どうやら上手く計算が進められる模様
59 : ななしのよっしん :2016/10/19(水) 18:16:43 ID: GLj8a5oRi1
>>51
多分打ち間違いについてだと思う……ごめん何で質問したか忘れた。

三進法で自然対数の底を表記したらどうなるの?
60 : ななしのよっしん :2016/10/19(水) 19:48:46 ID: Dm90GeF5QN
>>59
3進法で e=
2.20110112122110201101222210201102122220120222221021221
202011211222111000120222211210210201002202022200201201
00011120222120201020201000012111010121011220211111112122
020220212220200111102020101100210211001210001...
好きなだけどうぞ http://www.wolframalpha.com/input/?i=BaseForm%5BN%5BE,+1000%5D,+3%5D
61 : ななしのよっしん :2016/10/29(土) 04:14:58 ID: GLj8a5oRi1
>>60
おお……ありがとうございます
凄いサイト?だなあ(小並感)
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