単語記事: 1001

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1001
二進表記 1111101001
八進表記 1751
十二進表記 6B5
十六進表記 3E9
ローマ数字 MI
数字 千一
10001001 → 1002
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1001とは、1000の次、1002の前の自然数であり、7×11×13で表される合成数である。

性質

7×11×13を使う

上記の通り、「1001=7×11×13」であるが、これを用いることで「任意の1001の約数」の倍数(1,7,11,13,77,91,143,1001の倍数)の判定を次のように行うことができる。

判定を行いたい数を1000knk+・・・+10003n3+10002n2+1000n1+n0とおくと、その数を「任意の1001の約数d」で割った余りは{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}をdで割った余りに等しい。

以下、それを明する。(中学校までの範囲で理解できるように簡単な説明にしています。合同式が分かる人は前半部分(1000nの部分まで)は橙色の文章だけで理解できると思います。)

証明

はじめに、1001より1だけ小さい1000について考える。1000は「1001で割って1000余る数」といえるが、ここでは「1001で割って-1余る数」と表現する。合同式で表現すると"1000-1 (mod 1001)"となる。

さらに、10002すなわち1,000,000について考えたいのだが、その前に「nで割って-1余る数」同士の掛け算を考える。「nで割って-1余る数」2つをそれぞれnk-1,nl-1(k,lは整数)とおく。このとき、
(nk-1)(nl-1)=n2kl-nk-nl+1=n(nkl-k-l)+1
(nkl-k-l)は整数であるので、「nで割って-1余る数」同士をかけてnで割ると1余る。したがって、100021001で割ると1余る。合同式で表現すると"100021 (mod 1001)"となる。

さらに、10003について考えたいのだが、今度は「nで割って1余る数」と「nで割って-1余る数」の掛け算を考える。それら2つの数をそれぞれnk+1,nl-1(k,lは整数)とおく。このとき、
(nk+1)(nl-1)=n2kl-nk+nl-1=n(nkl-k+l)-1
(nkl-k+l)は整数であるので、「nで割って1余る数」と「nで割って-1余る数」をかけてnで割ると-1余る。ところで、10003=10002×1000と表すことができる。したがって、100031001で割ると-1余る。合同式で表現すると"10003-1 (mod 1001)"となる。

1001
割った余り
1000 -1
10002 1
10003 -1
10004 1
10005 -1
10006 1

また、これ以降10004=10003×1000, 10005=10004×1000, ・・・と考えていくと今までの操作を繰り返すだけということが分かる。したがって、右のような表ができる。これも合同式で表現すると、"1000n(-1)n (mod 1001) (nは自然数)"となる。

ここで、「任意の1001の約数」の倍数かどうか判定したい数を次のように変形する。ただし、kは自然数、nkは0以上999以下の整数、Nk,・・・,N3,N2,N1整数(ちなみに、それぞれの値はN1=1,N2=999,N3=999001,N4=999000999,・・・と具体的にめることはできる)。
  1000knk+・・・+10003n3+10002n2+1000n1+n0
={1000k+(-1)k-1}nk+・・・+(10003+1)n3+(10002-1)n2+(1000+1)n1+{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}
=1001Nk+・・・+1001N3+1001N2+1001N1+{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}
=1001(Nk+・・・+N3+N2+N1)+{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}
=7・11・13(Nk+・・・+N3+N2+N1)+{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}

(Nk+・・・+N3+N2+N1)は整数であるので、7・11・13(Nk+・・・+N3+N2+N1)は1001の倍数であり、1001の約数で割り切れる。よって、任意の1001の約数dで割った余りは、{(-1)k-1nk+・・・-n3+n2-n1+n0}をdで割った余りに等しい。

実際に求めてみる

11234567799を例に計算をしてみる。
11,234,567,799であるから、799-567+234-11=455=5×7×13
すなわち、(1の倍数・)7の倍数・13の倍数・91の倍数であることがわかる。さらに、それ以外の任意の1001の約数について、例えば455を143で割ると26余ることから、もとの数も143で割ると26余ることがわかる。

ちなみに

11の倍数については、10を11で割ると-1余ることから上記の明と同様に考えると、1桁区切りで同様の計算をすればよく、例えば、3576892は、2-9+8-6+7-5+3=0
これは11で割り切れることを表す。

関連項目


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携帯版URL:
http://dic.nicomoba.jp/k/a/1001
ページ番号: 4988771 リビジョン番号: 2451401
読み:センイチ
初版作成日: 12/10/29 23:04 ◆ 最終更新日: 17/01/22 15:32
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1001について語るスレ

1 : ななしのよっしん :2016/11/02(水) 11:53:28 ID: qZcqcYnNt3
なぜだ
なぜただの1001という数についてここまで詳しく書けるのだ
2 : ななしのよっしん :2017/01/22(日) 00:40:54 ID: u1VFlzYRjW
7×11×13=1001であることから
「3桁の数字を2つ繋げた6桁の数は、必ず7で割り切れる」ことも知られていますね。
(もちろん、11や13でも割り切れます)
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