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OD(センター試験)単語

ルートジュウノツギ

ODとは、2013年センター試験数学①(数学Ⅰ・数学A)第3問で出てきた線分のことである。

概要

センター試験数学①第3問では毎年、三面図形の融合問題が出題されている。
「最初にABCの辺や度をめる問題を解き、途中から内接円や外接円、線分が追加されていきそれらに関する問題を解く」
というのがテンプレであり、過去センター試験予備校の模試ではこのようなテンプレ問題ばかりだった。
2013年テンプレ通りであるともが思っていたであろう。
しかし、出題された内容はテンプレABCではなく、2つの円という今までにない内容であった。
それでも最初の問題くらいはどうにかなるだろう、と思いたくなるがそう甘くはなかったのが2013年センター試験
なんと、2問であるODめる問題を解けずに終わってしまった受験生が続出したのだ。
ODは多くの受験生トラウマを残す存在だったのである。

問題の内容と解説

点を中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。
円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA、Bとする。
また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。
ACと円Pの接点をDとする。

このとき、

AP=√[アイ] OD= []√[エオ]
[]

である。


図を描くとこのような感じになる。

APの求め方

ABは点Oを通る円Pの接線、点Oは円Pの接点なので、∠AOP=90°、OP=1、AO=3
方の定理より、AP2=OP2+AO2 AP2=1+9 AP2=10 AP=±√10
AP>0なので、AP=√10 (√[アイ]=√[10])

ODの求め方

ACは点Dを通る円Pの接線、点Dは円Pの接点なので、DP=1 、∠ADP=90°
方の定理より、AD=3
AOPとADPは対応する3辺の長さがすべて等しいので、AOPADP
ここで、APODとの交点をQとする。
AOPADPなので、2OQ=OD、∠OQP=90°
APO=∠OPQ、∠AOP=∠OQPだから、AOP∽AQO

AP:OP=√10:1なので、AO:OQ=√10:1 OQ=3× 1 = 3√10
√10 10
よって、OD=2OQ=2× 3√10 = 3√10  ( []√[エオ] = [3]√[10] )
10 5 [] [5]

別解その1(面積)

別解その2(倍角の公式:IAの範囲を逸脱)

OAD=2*∠OPDを出すところまでは最初と同じ。

ここで、倍公式を用いる:

cos(2x)=cos(x+x)=cos2(x)-sin2(x)

こうすると、cosOADの値がまる。

OADに対して第2余弦定理を用いる。
OD2=OA2+AD2-2*OA*AD*cosOAD

当然ながらODは正の値なのでODは一意に定まる。

※倍公式数学IAでは出てこない。

別解その3(トレミーの定理(プトレマイオスの定理):エレガント過ぎる)

形AOPDは、対の和が180度なので、この四形はある円に内接する。
(更にいうと、その「ある円」の直径の一つは他ならぬAPであるが、ここでの計算では関係ない)

トレミーの定理:

円に内接する四形について、
「(2本の対線の長さの積)=(向かい合う辺同士の積の和)」
が成り立つ

これを四形AOPDに適用すると

AP*OD=AD*OP+AO*PD

OD以外の値は全て今までの計算でまっているのでODはすぐまる。

トレミーの定理は高校生が必ずしも覚える必要のある定理ではないが、今回に限らず解きに役立つ場面も多い有用な定理である。

別解その4(三平方の定理を2つ使う)

APODが交わる点をD'とする。AOPについて考える。PD'=xとすると、D'A=√10-xである。また、DD'をhとする

AOPについて、D'はDから引いた垂線であるから、ADD'とPDD'はどちらも直三角形である。それぞれに三方の定理を使うと、

32=h2+(√10-x)2
12=h2+x2

が成り立つ。これを連立して解くと、

x=1/√10
h=3√10/10

められる。

よって、OD=2DD'=2hであるから、

OD=2*3√10/10
   =3√10/5

ある三角形に対して垂線をひき、三方の定理を2つ使いその長さをめる方法である。もちろん数学ⅠAの範囲である。
強引な解き方だが、どんな三角形に対しても導出することができる万である。難しい数学的なテクニックなどは要らないものの、ほかの解法にべて計算量が膨大であるので限られた時間でミスなく導く正確さがめられる。

別解その5(三角形の各辺と垂線の関係式を使う)

上の関係式を使うと、

OD = 2*OA*OP = 2*3*1 = 6 = 3√10
AP √10 √10 5

なお、この関係式は三角形の相似によって導くことができる。

AA

┌──┐ │   解     答     欄
│ 3.  │ ├────────────────
└──┘ │- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
  ┌──┼─────────────────
  │ ア│ Θ ②③④⑤⑥⑦⑧⑨
  │ イ│ Θ ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
  │ ウ│ Θ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
  │ エ│ Θ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
  │ オ│ Θ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
  ├────────────────────
  │ カ│ Θ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨


                       ┼ ヽ  -|r‐、.   レ |
                        d⌒) ./| _ノ  __ノ

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ページ番号: 5031862 リビジョン番号: 2432002
読み:ルートジュウノツギ
初版作成日: 13/01/22 17:57 ◆ 最終更新日: 16/11/27 01:54
編集内容についての説明/コメント: △AOP∽△AOQを△AOP∽△AQOに(対応する順に)
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h=ab/c

2014IA本試第3問

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OD(センター試験)について語るスレ

202 : ななしのよっしん :2017/01/16(月) 09:03:57 ID: EHo7ruk/3Z
この時期になるとここへきたくなる
203 : ななしのよっしん :2017/01/17(火) 12:33:19 ID: fnwEp5bngG
>>201

二等辺三角形の頂の二等分線は底辺を垂直にニ等分する

という性質がある

204 : ななしのよっしん :2017/01/18(水) 17:33:27 ID: aAvXBOdjBm
これOD自体は中学数学でも解けるんだよなあ
ただAPの次にいきなりこれを尋ねるというのが受験者のリズムを大きく狂わせるのよね
205 : ななしのよっしん :2017/05/19(金) 22:09:43 ID: wBR8U/mNAK
解いてる最中に見たときは頭が真っ白になった記憶がある。「何で自分が受ける時期に限って傾向を変えるんだ‼」って思った。数学々は否定しないけどこの問題の難しさは当時現役で受けてリズムを崩された人にしかわからんだろうと思う。悔しかったなぁ。
206 : ななしのよっしん :2017/10/12(木) 21:35:58 ID: mya9ExNd1l
OAとOPが直交してるから(Oを原点とした)座標面で考えることもできる
これも中学レベルやで
207 : ななしのよっしん :2017/10/12(木) 21:43:50 ID: w1KNF9P1n/
これ結構悩むね
相似の概念をに理解してるかを問える良い問題だと思う
208 :   :2017/12/31(日) 08:21:34 ID: k16bZZHDZu
喜べ、センター試験が終わって次世代の試験はこういう問題ばっからしいぞ
209 : ななしのよっしん :2018/01/12(金) 22:52:06 ID: Arxb394eT7
後々に存在を知って趣味でやった時に、高校時に基礎を疎かに聞いてたせいか、列挙された方法が全く思いつかず散々迷った挙げ句…

まずAODPODの2つにわける。∠AOP=∠ADP90°で、和は180°だから、∠OADと∠OPDはcosθと-cosθで表せるな(高校卒業後は興味本位の遊びだから間違ってたらごめん…)と思って強引に2つの三角形を余弦定理で表して連立方程式ODの長さをめたわ。

どの解法でもいと思うけど、その後の問題を見るとそれを元にして案外スラスラ行き着いた事が多かったから、結果的には良かったのかな?
210 : ななしのよっしん :2018/01/15(月) 14:44:40 ID: zNEx2xtKvl
かなり久々に見にきたら容赦なさすぎるAA出来立て
211 : ななしのよっしん :2018/04/27(金) 14:27:17 ID: wfL2dyVI9b
今年で医学部6年だけどこれ解いたわ〜懐かしい!

余裕とか言ってる偉そうな多いけど、当時数学得意だったでも、

問題文慎重に読んでも自分の描いた図に100%の自信がない
→問2にしてはOD殺できない
→これは自分の描いた図が間違ってるのか??
→最初に戻る
の焦りループはエグかったぞ。
センター試験は二度と受けたくない試験No.1
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