ニコニコ大百科

路線図はトポロジーの例というより、グラフ理論の例としてあげられるけどな。
球とドーナツの違いみたいなのを例にあげるとわかりやすくなるとは思うんだけれども。

>>1

御指摘ありがとうございます。グラフ理論との兼ね合いをすっかり忘れておりました。

図形について「形状」を抽象化するのがトポロジー、「繋がり」を抽象化するのがグラフ理論　という風に認識しております。

グラフ理論との兼ね合いですが、地図上の形状から作成したグラフをトポロジーの考えに基づいて変形して単純化したものが路線図である　という認識です。

上記に基づいて書き直してみました。不足な点、これは違うぞといった点があれば御指摘頂ければ幸いです。

実際、トポロジーの考え方を紹介するのに路線図が用いられています。詳しくはこちらをご覧ください。(pdfです)
http://www.kobepharma-u.ac.jp/~knot/document/geometry.pdf

球とトーラスについての説明も追加してみました。こちらも不足店や間違っている点などありましたら御指摘頂ければ幸いです

「トポロジー」という語に関して、位相幾何学だけでなく集合に付与する情報としての位相にも言及してはいかがでしょうか？
位相幾何学が"位相"幾何学である所以ですし

>>3

対応可能な範囲で対応してみました。
ご一読頂ければ幸いです。

>>4
お疲れ様です。

位相の項目の４行目が少し気になりました。
「同相」は位相空間どうしの関係における概念であるので、このような使い方は文脈を曖昧にしてしまいます。
同相については位相について簡単に定義してから触れた方が良いと思います。
例えば
　

集合Xの冪集合P(X)のある部分集合をT(X)とする。T(X)が次の3条件を満たすときT(X)をXの位相とよぶ。
1.　φ,X ∈ T(X)
2.　U,V ∈ T(X) ⇒　U ∩ V ∈ T(X)
3.　U1,U2,U3,・・・ ∈ T(X) ⇒　∪U ∈ T(X)
XとT(X)の組(X,T(X))のことを位相空間といい、T(X)の元Uのことを位相空間Xの開集合という。

位相空間X,Yの間の写像　f:X→Y　が条件
　　B ∈ T(Y)　⇒　f^-1(B) ∈ T(X)
(ただし、T(X),T(Y)はそれぞれX,Yの位相、f^-1はfの逆写像を表す)
を満たすときfは連続であるという。
連続写像fが全単射であり、その逆写像も連続であるとき、fは同相写像であるという。
２つの位相空間の間に同相写像が存在する場合、これらの位相空間は位相同型(同相)であるという。
トポロジーにおいてトーラスとコーヒーカップが同一視されるのはこれらの図形が同相であるからである。


といった具合に。

>>4

対応してみました。

トポロジー入門ってあまり簡単じゃないのね・・・

「入門」だとか「基礎」だとかの題名がついている本には要注意だ。

それ相応の知識がないと門を叩くことすらできないからね
これに限らず高校レベル以上の学問はだいたいそんな感じのが多い

まぁでも、普通は対象読者とか、必要な予備知識が前書きに書いてあるから、そこから辿って事前知識を勉強すれば良いよ。
あと、どうしても分からない箇所があれば、分からない事を明らかにした上で（重要）、先に進めば良い。

「入門」とか「基礎」っていうのは詳解か深入りしないだけで簡単ではないぞ
簡単ていうのは、「単位がとれる」とか「やさしい」とか式とイラストの羅列みたいな本だ

こんなマニアックなものあったのかｗｗｗgoogle検索でトポロジー2.0って検索を入れたら見つけてきたんだが。

今頃の3年生は「ホモロジー群の単体分割で求めなさい」と言われてその計算の煩雑さに挫折している頃だと思う。
ホモロジー群を求めよって言われて三角分割で出来るのなら3行3列の基本変形じゃなくて、例えば27行18列の基本変形とかを要請されるから相当な実力者だと思う。

トポロジーをやっているので唯一得することは一般人なら諦めるような分かんない構造に対して知っている構造そのものか、知っている構造の組み合わせたり毛の生え程度のものが同相であることが言えれば、分かってしまうという所にある。
同相写像を簡単にあるかどうか言えないから、計算で何とかなるホモロジー群とかある。
ただ、ポアンカレの時代の計算だと3年にやるようなアッカーマン関数並に値を求めることも、性質を調べることも太刀の悪い存在だと思う。
そのため、幾つかの姉妹丼がいるが（簡約ホモロジー、特異ホモロジー）、これを覚えるのは3年生にとっては厄介なんだよね…。
ただのホモロジーでさえ定義が複雑だから、更に変な名前のホモロジーがついて…。
ただ、ホモロジーの相対空間を取ったコホモロジーは特定の条件でかなり処理しやすい微分形式に置き換えられる理論があって、これが巷で有名になっている。
これと群であると同時に実解析多様体になっているリー群が理系ホイホイってとこか。（特定の条件って閉形式だったと思うが、ちょっと忘れた。）

他にも理論は（その概念がホモロジー同型で、同相に関する不変量って言えればいいだけなんだが）基本群、K群がある。
ただ、ホモロジー群のように実用的かどうかは相当不明で、基本群は同相に近いが今でも良く分かっていなくて、その難しさがポアンカレ予想に出てきている。とりあえず鬼畜な計算の煩雑さを誇っている。
K群なんて知るかｗｗｗって所だが正直な所、自分も勉強しないといけないと思う。

高校で数学やってて、
可能性無い(数学における快楽=解く事なのか？)って感じて
結局美大へ進路変更した者なんだが、この学問めちゃくちゃ面白そうだな！！
これって独学じゃ勉強できるもんじゃないかな？
これについて勉強すべき知識はどこまでだ？
スゲー興味ある。一応数ⅢCまでは履修済み

>>13
線型代数や微分積分と違って、意外と予備知識なしでもいけると思うよ。参考書は↓これらがおすすめです。
>>az4535784051
>>az4061539647

位相の入門書は内田さんの「集合と位相」、
(微分)位相幾何の入門は松本幸男さんの「トポロジー入門」、「多様体の基礎」、「Morse理論の基礎」とか足立さんの「埋め込みとはめこみ」辺りが面白いと思う。


本格的にやりたいならシンガー・ソープも選択肢に入る。


但し、本格的にやろうと思ったら線形と微積の知識くらいは欲しいね。
線形は佐武さんの「線型代数学」、微積は小林さんの「微分積分読本」と「続　微分積分読本」が分かりやすくて良いと思う。

GIOGIOの第5部のトリッシュのスタンドは完全にトポロジーなので記事の例に入れるべき。

>本格的にやりたいならシンガー・ソープも選択肢に入る。
トポロジーの怖さを分かっていない。1920年代から30年代のトポロジーの結果に関してはほぼホモロジー代数というべきでその形跡は河田敬義「ホモロジー代数」に書いてある。要するに、グロタンディエグとかM．アルティンのLecture noteの結果を抜きにして教科書を書いてあるから怖い。
トポロジー専攻は修士1年の時点で岩波の緑の「一般コホモロジー」、「指数定理」、「特性類と幾何学」、「場の理論とトポロジー」に進まないと話が続かないし、そんなに現代数学は甘くない。

>>13
「トポロジー」の全容を知りたいならSpringerのLecture Noteでそれに関する題名の講究録を片っ端から調べれば漏れはまずないだろうけど、まず発狂する。>>12の言っていることを理解したところでカオスだけど局所的に言っている内容が理解できるレベルじゃないとトポロジーは分かんない。絶版になった河野先生の「曲面の幾何構造とモジュライ」を薦める。

私も美大に通っているけれど、図形の描画に役立ちそうだとおもい、本を読み始めた。ここにあがっている参考書も試してみたい。

ええと・・・日本語で書かれているんですかね、この掲示板は？？？（法学クスタラ

ドーナツにコーヒーを注いでしまった…

物性物理学のトポロジカル絶縁体の研究やってるが学部で結び目の数学触っていてよかった…
トポロジカル不変量とはなにかを知っているだけで理解の助けになる

詐欺の学問--犯罪心理学--かな？？

＞ドーナツとコーヒー
女性にも穴はあるのでドーナツ＝コーヒー＝女性（Q.E.D.）

>女性にも穴はあるのでドーナツ＝コーヒー＝女性（Q.E.D.）
普通、口から排泄口、鼻の穴、耳の穴まで空洞繋がってるからドーナツ＝コーヒーカップ≠人類。ちくわを食べて勉強しなおす事。

中卒の俺にはちんぷんかんぷんですわ
こういうのが理解できる人には未知の解明を頑張っていただきたい

私は生命系なんだが、蛋白質構造とトポロジーって本は入門書としてどうですか？
1年で微積と線型は一瞥しているのと、2年前期で一応数学科向けの微積と線型に潜り込んではいる（理解できたとは言い難いが）

>>23
貫通してるのは口から排泄口の穴だけじゃない？
それならトポロジー的にはドーナツ＝コーヒーカップ＝人類は間違っていない気がする

>>26
一応鼻の穴と口と排泄口と目の近くにある穴はぜんぶつながってるから一つの穴に複数の入り口・出口があることになってる。
この場合穴の個数をどう数えるのかはわからん。
あとちなみに女性の場合は卵管が体内で開放してるから実は体の外側と内側はつながってて女性は裏表がないということになりトポロジー的には面白い。

>>sm22634285

図にしてみると凄い形してるけど実際このルールでやったことあったなぁ、という感じ

>>27
あぁ、鼻の穴は忘れてた。
そうするとドーナツ≠人間になりそうだな
目みたいに物が埋まってる場合の扱いはわからん

卵管ってそうなのか・・・体内で結局行き止まりに行き着くからトポロジー的には無意味だと思ってた

>>27
マジ？　本川先生の生き物は円柱形とはなんだったのか