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白銀比


ヨミ: ハクギンヒ
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白銀比とは、


概要


まず、長方形を1つ考える。長いほうの辺を半分にすると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺のを白銀比という。

もっと具体的にいうと、1:√2である。このは古くから日本の建造物に用いられている。2辺のが白銀比であるような長方形を白銀長方形といい、印刷にも使われている。


作図法


白銀長方形のよく知られた作図法を紹介する。

  1. 正方形ABCDを作図する。
  2. Bを中心とした、半径BDの円を描く。
  3. 辺BCをCのほうに延長し、2.で描いた円との交点をPとする。
  4. Pを通り、辺BCに垂直な直線を描く。
  5. 4.で描いた直線と、辺ADの延長線との交点をQとする。
  6. 長方形ABPQが、白銀長方形である。

証明


[画像を見る]上記のとおり作図したとき、長方形ABPQ白銀長方形であることを示す。

Bを中心とした、半径BCの円を描く。
その円と対BDとの交点をEとする。
EPを結ぶ。
Eを通り、辺BCに垂直な線を描き、辺BCとの交点をP',辺ADとの交点をQ'とする。

辺BCと線分BEは長さが等しい。
BDと線分BPも長さが等しい。
CBDとEBPは同じ。
よって、三角形BCD三角形BEP合同
よって、三角形BEPは、BPを斜辺とした直二等辺三角形である。
線分EP'は線分BPに垂直なので、三角形BEP'と三角形PEP'は合同
よって、P'は線分BPの中点である。
したがって、長方形ABP'Q'は、長方形ABPQの長いほうの辺を二等分して得られる長方形である。・・・(1)

線分EP'と線分DC行なので、三角形BEP'と三角形BDCは相似。
よって、線分の長さので、BP':BE = BC:BDが成り立つ。
線分BE,線分BCは線分BAと長さが等しく、線分BDは線分BPと長さが等しい。
よって、BP':BA = BA:BPが成り立つ。
したがって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQは相似。・・・(2)

(1),(2)より、長方形ABPQは、白銀長方形である。 


別証 


前述の明は、白銀比の具体的な値を用いない明である。しかし1:√2であることがわかれば、「ピタゴラス一発」でだいたい通じる。ちゃんと書こうとすると次の通り。

辺ABの長さをaとする。
ACの長さもaなので、ピタゴラス定理より対BDの長さはa√2である。
よって、線分BPの長さもa√2である。
したがって、辺ABと線分BPの長さのは、1:√2である。
ゆえに、長方形ABP'Q'は白銀長方形である。


関連項目



最終更新日: 17/04/25 22:34
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