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素数


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素数prime number)とは、自然数のうち自身と1でしか割り切ることのできない数のことである。但し1を除く。

暗号理論や精安定剤として重用される。


素数の一覧(1000未満)


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997,...

続きがもっと見たい、という方は「素数の一覧」記事を参照。


数学的性質


素数という概念は、紀元前1600年ごろには(部分的にだが)知られていたようである(ソースWikipedia)。にも関わらず、双子素数の予想、ゴールドバッハの予想、リーマン予想など、素数に関連する多くの予想が現在も未解決のままである。それゆえか、素数は秘的な数と言われたりもする。

また、大きな数の素因数分解は困難であるため、暗号理論に応用されている。

環論における既約元、素元は、素数の概念の一般化である。


素数は無限に存在する


有名なユークリッドによる明(『原論』第9巻命題20, 紀元前3世紀頃)を紹介する。他にもたくさんの明が存在する。詳しくは素数が無数に存在することの証明 - Wikipedia[外部]を参照。

素数が有限個しか存在しないと仮定する。素数の全体を p1, p2, ... , pn とおく。ここで、新たな数 p = p1×p2× ... × pn +1 を考える。p を p1 で割った余りは1だから、p は p1 で割り切れない。同様に p2, ... , pn でも割り切れない。よって p は素数である。一方、 p はどの p1, p2, ... , pn よりも大きい。だがこれは素数の全体が p1, p2, ... , pn であることに矛盾する。よって素数は限に存在する。

素数定理

素数が自然数の中にどのぐらいの「割合」で存在するのかを示唆する定理であり、18世紀末ガウスやルジャンドルによって予想され、1896年にプーサンとアダマールによって独立明された。詳しくは素数定理 - Wikipedia[外部]を参照。

正の実数 x に対して、x 以下の素数の個数を π(x) と表す。このとき、π(x) と x/log x の増加速度は "同じぐらい" である。正確に言うと、 limx→ π(x) / (x/log x) = 1 が成り立つ。


2019年1月現在確認されている最大の素数


282589933-1である。(2018年12月にGIMPSにより発見[外部]

十進数で2486万2048桁にも及ぶ。

また、メルセンヌ素数(2n-1で表せる素数)の中で人類が発見したものを小さい順に並べたとき、51に来るメルセンヌ素数である。ちなみに、1〜47番メルセンヌ素数までは「隙間なく」発見されているが、47, 48, 49, 5051メルセンヌ素数の間にまだ発見されていないメルセンヌ素数が存在するのかどうかはわかっていない(2019年1月現在)。詳しくはメルセンヌ数[外部]および巨大な素数の一覧[外部](いずれもWikipedia)を参照。


100以下の素数の覚え方


さん 五時に セブン イレブン 父さん 「いーな」と ついて いく。
2 3 5 7 11 13 17 19
兄さん 屋に さぁ行こう。 南は 良いとこ。 与作 死なない。
23 29 31 37 41 43 47
誤算の 悟空 6位。 しく ない。
53 59 61 67 71
奈々さん 泣くな。 ハチさん 吐くな。 苦難のを乗り越えよう。
73 79 83 89 97

素数の利用例


『落ち着け、素数を数えるんだ。』

上記台詞漫画ジョジョの奇妙な冒険ストーンオーシャン」にてプッチ神父が使用したことにより、慌てふためいた発言や言動に対して落ち着かせるために使用される。神父く、「素数は1と自分の数でしか割ることのできない孤独な数字・・・。わたし勇気を与えてくれる」

ただしこれは「素数を数えれば落ち着く」元ネタではく、それ以前でもスティーブン・キング小説などで見られた表現である。

またニコニコ動画内では、動揺するような場面が出てきた場合、「2、3、5、7、11、13……」と素数をコメントしたり、動画内で素数を数えるMADが出てきたりなど、様々な活用が見られる。

もっとも、動揺しすぎて「2、4、6、8・・・」となぜか偶数を数え始めるものや、⑨を素数とするものも多数存在している。


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最終更新日: 19/01/21 03:36
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