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非ユークリッド幾何学


ヨミ: ノンユークリドキカガク
掲示板をミル!
51カキコ!

非ユークリッド幾何学とは、ユークリッド的でない幾何学の事である。

そのオサレ感から、少年漫画などで「なんか分からんが凄い理論」のように扱われたりするが、実はそれほどぶっ飛んだ内容ではなかったりする。


ユークリッド的でない概要


ユークリッド幾何学三角形やら円やらが出てくるいわゆる普通の「幾何学」の事を言う。これは盛の定規コンパスのみで作図するべし、などの明確なルールが定まっており、長らく数学的厳密さの手本とされてきた。ユークリッドは幾何学の解説書である「原論」を著しており、その中で、まず初めに認める幾何学の基礎として5つの準というものを考えていた。以下の命題がそれである。

準1 任意の点から任意の点に直線を引くことができる。
準2 任意の線分を延長する事ができる。
準3 任意の点を中心に任意の半径の円を描くことができる。
準4 直はすべて等しい。

非常にシンプルで直感とも整合しており、これを定理として明するような更に基礎的な公理もなさそうである。が、全く瑕がなかったわけでもない。一の弱点とされていたのが第五準の妥当性である。

準5
1本の直線Aが2本の直線B,Cに交わるとする。このとき、同じ側の内が2直未満であれば、B,Cを限に延長すれば何処かで交差する

何を言ってるか分からない?よろしい、ならば図解だ。 

行線は一つしかない
平行線の図

 

斜めな線はぶつかる(ハズ)
[画像を見る]

なるほど。確かにそれっぽい。ただ、他の準とべてどうにも説明が長ったらしくややこしい。もう少し短くマシな言い方はないのか?実は他の4つの準から導ける定理なのではないか?などと小2000年問い詰められていたのも事実だったわけである。

その結果、19世紀前半になって冷静に考えてみると、ユークリッド幾何の要請は「面はまっすぐでないとダメ」だとか「ループしてるのはダメ」などとは一言も言っていないということに思い当たる人が現れ始める。一度常識を疑えば、「面」が歪みねぇものであれば第五準を含めたユークリッド幾何学が成立するが、双曲面のようなんだ「面」であれば第五準に反する幾何学が成立するということ、すなわちこれまで厳密な真理だとされてきたものは、実は人間の勝手な先入観で作られた幻想に過ぎなかったとみんな気付くようになってしまったのだ。

しかし、この事は逆に幾何学を大きく前進させた。なぜか?つまり、幾何学本質ルールを定めて何が起こるかを知る、という点にある事、すなわち「ルールブック」こそが幾何学本質であることを白日の下にしたからである。

時は19世紀。幾何学新時代の明けであった。


幾何学あれこれ


ユークリッド幾何学歪みない間で成立するという意味では、大なり小なり歪みのある非ユークリッド幾何学とは一線を画した特別な存在ということはできる。しかし、上の定義通りユークリッド的時を扱う物以外は非ユークリッド幾何ということになるため、非ユークリッド幾何という幾何などぶっちゃけないのと同じである。LISPかよ!

行線はいくらでも引ける」幾何学、「行線は二本あった!」幾何学だとか「行線など存在しない」幾何学、あるいは他のルールを否定した幾何学など、論理さえ矛盾しなければ何でもいい。オサレであればなお結構である。そこにルールがあり、ルールに沿った図があるならば、それはすでに幾何学なのだ。

逆に言えば、「行線だから交わらないはず」といった直感的な説明は一切認められない。「点」という用を全て「椅子」に、「直線」という用を全て「テーブル」に置き換えても論理的には同じものにならなければならない(by ダフィットヒルベルト)のだ。(ここでいう「椅子テーブル」は「点・線」に対する先入観を破壊するために導入された「A・B」と同様な記号であり、「行線だから〜」という理屈が通用しないのと同様、「椅子だから〜」「テーブルだから〜」という反論は一切成立しない。)

限遠点を加えてみた → 射影幾何

距離の測り方から疑ってみた → リーマン幾何(相対性理論で使う!)

・表と裏が両方備わり最強に見える → クラインの壺

エトセトラ、エトセトラ……


関連動画


第五準とは同値ではなく裏の関係になるが、ユークリッド幾何学では常識である「内の和が2直なら行で交わることがない」の反については球面の例が一番わかり易い。下記動画を見て常識を疑うことを始めてみよう。


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最終更新日: 18/02/15 06:00
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