ニコニコ大百科モバイル

7/2(月)よりスマホまたはPCでアクセスした場合、各デバイス向けのサイトへ自動で転送致します


黄金比


ヨミ: オウゴンヒ
掲示板をミル!
41カキコ!

黄金比とは、幾何学において1:1.618…として表されるである。人間にとって最も美しい率と称される事が多い。


概要


まず、長方形を1つ考える。そこから、短いほうの辺の長さを1辺とする正方形を切り取る。すると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺の黄金比という。

長方形を使わずに、線分で考えることもできる。ある線分を、長さの異なる2つの線分に分割する。そのとき、長さのが(長いほう):(元の線分)=(短いほう):(長いほう)となるようにしたときの、線分の長さの黄金比という。

もっと具体的にいうと、1:(1+√5)/2である。記号ではφを用い、1:φと書く。このφオイラーの等式には出てこないが、れっきとした重要な数学定数のひとつである。

この自然界でたびたび出現するだけあって美しいと言われている。人工物でも芸術作品や建造物に多く使われている。2辺の黄金比であるような長方形は長方形とも呼ばれ、名刺にも使われている。ちなみに印刷は機能面を重視するため、辺のは1:√2である。


作図法


長方形のよく知られた作図法を紹介する。

  1. 正方形ABCDを作図する。
  2. 辺BCの中点Mをとる。
  3. Mを中心とした、半径MDの円を描く。
  4. 辺BCをCのほうに延長し、3.で描いた円との交点をPとする。
  5. Pを通り、辺BCに垂直な直線を描く。
  6. 5.で描いた直線と、辺ADの延長線との交点をQとする。
  7. 長方形ABPQが、長方形である。

証明


[画像を見る]

上記の通り作図したとき、長方形ABPQが長方形であることを示す。

辺BCをBのほうに延長し、3.で描いた円との交点をP'とする。
P'を通り、辺BCに垂直な直線を描く。
それと辺ADの延長線との交点をQ'とする。
AP',APをそれぞれ結ぶ。 

線分PP'は円の直径なので、三角形P'APは、
Aが直となる直三角形である。

ABとPP'は垂直なので、三角形P'BAと三角形ABPも直三角形である
三角形P'AP三角形P'BAは、AP'Bを共有しているので相似。
三角形P'AP三角形ABPは、APBを共有しているので相似。
よって、三角形P'BAと三角形ABPは相似。
したがって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQも相似である。・・・(1)

点Mは円の中心なので、線分MP'と線分MPは長さが等しい。
点Mは辺BCの中点でもあるので、
線分MBと線分MCは長さが等しい。
よって、線分BP'と線分CPは長さが等しい。
線分ABと線分DCは長さが等しいので、長方形P'BAQ'と長方形PCDQ合同である。・・・(2)

(1),(2)より、長方形PCDQと長方形ABPQは相似である。
したがって、長方形ABPQは長方形である。


別証


辺ABの長さをaとする。
Mは辺BCの中点なので、線分BM,線分MCの長さはいずれもa/2である。
CDの長さはaなので、ピタゴラスの定理より、線分MDの長さは√5a/2。
よって、線分MPの長さも、√5a/2。
よって、線分BPの長さは、a/2+√5a/2 = a・(1+√5)/2 = φa
したがって、辺ABと線分BPの長さのは、1:φである。
ゆえに、長方形ABPQは長方形である。

この明は前述の明より短いが、黄金比の具体的な値を2次方程式によりめなければならず、純に幾何的な明ではない。


ニコニコ動画に関連する黄金比


  1. ニコニコ動画において、再生数、コメント数、マイリスト数の状態。→黄金比(ニコニコ動画)
  2. ツンデレにおいて、ツンとデレの理想的な率。→ツンデレ黄金比=9:1
  3. VOCALOID作品において、ネタとガチの要素を併せ持つ楽曲。→黄金のガチネタ比
  4. コスプレにおいて、ミニスカート、露出した太腿、ニーソックスの理想的な率。→絶対領域

関連動画



■sm808492[ニコ動]

■sm11630584[ニコ動]
■nm12698825[ニコ動]
■sm11886889[ニコ動]


関連項目



最終更新日: 13/09/30 19:05
タグ検索 パソコン版を見る


[0]TOP
ニコニコ動画モバイル
運営元:大百科ニュース社