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4次元


ヨミ: ヨジゲン
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4次元とは、次元が4つあるもののことである。


概要


間内の点の位置を表す際に、直線上なら1つの数、面上なら2つの数、3次元間内なら3つの数で表現できる。こういった、「間内の点をいくつの数で表現できるか」を次元という。4次元では、点の位置を表す際に4つの数を必要としており、3次元間にさらに1つの座標軸が加わったものとも言える。長さの軸が4つある間も4次元であり、複素数2つの組も、(実数上では)4次元となる。


物理学における4次元


物理学では、3次元間と時間軸を合わせて、4次元時として扱うことがある。相対性理論では時間と間が互いに影し合うので、4次元のミンコフスキーで考える。しばしば「第4の次元は時間」などといわれるが、ニュートン力学では時間は間から独立しているので、一緒にして扱う必要性はない。


フィクションにおける4次元


フィクションでは、入れ物に何かを出し入れするシーンなどで、その量が入れ物の大きさを明らかに上回っている場合に「4次元」と言われることがある。作画ミスもあれば、意図的にそのように描いている(ツッコミ待ち)場合もある。そんなに大きな物を格納するには次元が多くないと成り立たない、という考えからなのだろう。ドラえもんの四次元ポケットが大きく影しているとも考えられる。


多胞体


多面体の4次元バージョン3次元の多面体を複数貼り合わせることによって作られる。正多面体の4次元バージョンを正多胞体という。すべて合同な正多面体から構成され、かつ各頂点に同じ数の正多面体が集まる多胞体のことである。

以下、正多胞体について列挙する。

正五胞体
正四面体の4次元バージョン。4次元正単体ともいう。正四面体の各頂点からの長さが、すべて1辺の長さになるように点を1つだけとって、線で結んだもの。正四面体を5個貼り合わせたものであり、10本の辺、10枚の正三角形をもつ。
正八胞体
立方体の4次元バージョン。4次元立方体ともいう。2つの立方体行に、対応する頂点が立方体に対して垂直に、かつ距離が1辺の長さになるように配置し、線で結んだもの。立方体を8個貼り合わせたものであり、32本の辺、24枚の正方形をもつ。
正十六胞体
正八面体の4次元バージョン。4次元正軸体ともいう。正八面体の両側に、各頂点からの距離がすべて1辺の長さになるようにそれぞれ点をとり、線で結んだもの。正四面体を16個貼り合わせたものであり、24本の辺、32枚の正三角形をもつ。
正二十四胞体
4次元ならではの図形であり、対応する3次元の正多面体はない。正八面体を24個貼り合わせたものであり、96本の辺、96枚の正三角形をもつ。
二十胞体
正十二面体の4次元バージョン。正十二面体を120個貼り合わせたものであり、1200本の辺、720枚の正五形をもつ。
正六胞体
正二十面体の4次元バージョン。正四面体を600個貼り合わせたものであり、720本の辺、1200枚の正三角形をもつ。

投影図


4次元の図形を理解する方法のひとつとして、3次元への投影がある。イメージとしては、4次元の図形にを当て、3次元スクリーンに映す、といった感じ。投影の仕方は様々あるが、ここでは2種類の方法について述べる。ひとつは、行なを当てること。もうひとつは、1点から放射状のを当てることである。

前者の方法では図形の大まかなイメージがしやすいが、本来交わらない面が交わってしまう。後者の方法では辺や面の間のつながりを保つことができるが、元の図形とはかけ離れた形になってしまう。4次元方向の行きは、後者の方法では中心との距離に対応し、から遠いものほど、3次元に射影したときに中心に近い位置になる。形が入れ子構造になっているのはそのため。

以下に挙げる図では、単独で載っているものは後者の方法をとっている。2つ載っているものは前者、後者の順であり、辺の色は対応している。お絵カキコ2次元なので、厳密には3次元投影図をさらに2次元投影したものである(2次元への投影の仕方は前者の方法に従う)。

尚、実際の4次元の図形は、すべての頂点、辺、面、多面体が外側にある。辺の長さはすべて等しく、構成する面や多面体はすべて合同である。

注意:以下の図は、描いた人(=当記事初版~第6版編集者)の憶測を含みます。正確な図である保はありません。

正五胞体

正五胞体の投影図です。[画像を見る]

超立方体

[画像を見る][画像を見る]

正十六胞体

[画像を見る][画像を見る]

正二十四胞体

[画像を見る]


宿題


長さの等しいマッチ棒を10本使って、マッチ棒1本を1辺とする正三角形を10個作れ。


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最終更新日: 17/05/15 19:47
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