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÷

÷の出番はここまでか・・・あとは分数、お前に任せた」

概要

÷とは、割り算を行うことを表す記号であり、日本では小学校算数で習う。しかし分数とほぼ同義であるため、中学以降は使われる頻度が格段に少なくなる。

定義

a÷b とは、a = bx を満たす x のことである。

つまり、割り算は掛け算の逆演算である。但し、この x は1つに決まらなければいけない。元々は「数量 a を b 個の組に均等に分けた時の量」もしくは「数量 a を1組あたりの量が b になるよう均等にに分けたときの組数」を考えるときに用いられていた。これを、より一般的な形にしたのが上記の式である。b = 0 のときは x の値が1つに定まらないので、0 で割ることはできない。

余り

割り算は、整数の範囲内に常に収まるとは限らない。しかし整数 a、自然数 b に対し、a = bx+y (但し、0≦y<b)を満たす整数 x,y がそれぞれ一つ存在する。このとき、 y を「a を b で割った余り」という。余りの概念は、数IIで1変数多項式に拡され、高次方程式を解く際に用いられる。しかし、整数の割り算としての余り中学高校で触れられることはほぼない。

逆数との関係

逆数とは、0でない数 a に対し、ax = 1 を満たす x のことである。a の逆数を a-1 と書く。割り算の定義から、a-1 = 1÷a がわかる。

また、x = a÷b とすると、a = bx なので、両辺に a-1 を掛けることで、x = b-1a となる。つまり、a÷b = b-1a である。このことから、割り算は逆数を掛けることと同義であることがわかる。

分数との関係

 a/b は、b を掛けることで b が約分されて a になるため、a÷b = a/b が成り立つ。

分数の割り算

その大胆な計算方法で多くの小学生に衝撃を与え、今なお多くの小学生を苦しめている。しかし中学に上がると気にならなくなるどころか、当たり前のように計算される。

前述より、割り算は逆数を掛けることと同義である。では、分数の逆数とは何なのか。0でない分数 a/b に対し、掛けて1になる数は b/a である。実際に掛けてみると、a と b が約分されて1が残る。つまり分数の逆数は、分分子を入れ替えたものとなる。このことから、分数の割り算は「割る数の分分子を入れ替えて掛ける」ということになる。小学校で教えるときはこの過程をすっ飛ばしていきなり結論から入るため、多くの人が困惑するのである。

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