テイラー展開とは (テイラーテンカイとは) [単語記事]

テイラー展開とは、関数を無限個の多項式の和で表す手法のことである。

概要

一次関数や二次関数、三次関数といった多項式関数は、xの値を与えれば、関数の値を計算するのは難しくない。
しかし、指数関数や三角関数といった関数については、特殊なxの値以外については、関数の値を計算するのは難しい。
そこで、あらゆる関数を多項式で表すことができれば値が計算できるのに…となるが、そのような場合に特に役に立つのがテイラー展開である。

以下、f(x)を、定義域内の任意の点で任意の回数だけ微分可能なxの関数とする。

ここで、ある一点x=aを決め、x=aの近傍で、f(x)を(x-a)のk乗の和（kは0以上の整数）で近似することを考える。(x-a)^kの係数をa_k(a)とし（係数がaに依存することから)、n次の項まで考える。
当然、n次の項までの和とf(x)には誤差が生じるので、この誤差である剰余項をR_n+1と表現すると（n+1乗以上の項をまとめたようなものと考えると分かりやすい）、

f(x)=Σ(k=0→n){a_k(a)・(x-a)^k}+R_n+1　…①

となる。
剰余項には多種多様な表現があるので、詳細は解析学の教科書等を参照のこと。

ここで、n→∞としたとき、剰余項R_n+1が0に収束するならば、f(x)を無限個の(x-a)の冪で表現することが可能であり、式①は

f(x)=Σ(n=0→∞){a_n(a)・(x-a)ⁿ}　…②

と表現される。

肝心の係数a_n(a)であるが、結論を言えば、f⁽ⁿ⁾(x)をf(x)のn次導関数として、

a_n(a)= f⁽ⁿ⁾(a)/n!

となるので、式②は

f(x)=Σ(n=0→∞)[{f⁽ⁿ⁾(a)/n!}・(x-a)ⁿ]　…③

と表現される。これを「f(x)のx=aのまわりでのテイラー展開」などと表現する。（なお、0次微分f⁽⁰⁾(x)はf(x)そのものとし、0!=1、(x-a)⁰=1にも注意。）
厳密な説明ではないが、③の両辺をn回微分してx=aを代入すれば両辺が一致し、係数a_n(a)の表式が妥当であることが確かめられる。

n→∞のとき剰余項R_n+1が収束し、f(x)のx=aのまわりでのテイラー展開が可能となるxの範囲であるが、

任意の実数xについて剰余項R_n+1が収束し、f(x)のx=aのまわりでのテイラー展開が可能となる。
ρを正の定数とし、|x-a|<ρを満たすxについては剰余項R_n+1が収束し、f(x)のx=aのまわりでのテイラー展開が可能であるが、|x-a|>ρとなるxについては剰余項R_n+1が発散する（|x-a|=ρの場合についてはケースバイケース）。

場合に分けられる。2.の場合におけるρを収束半径という。なお1.の場合は、収束半径は∞という。

テイラー展開の中でも、x=0の周りのテイラー展開を考える場合が多く、これをマクローリン展開という。③にa=0を代入すると、関数f(x)のマクローリン展開は

f(x)=Σ(n=0→∞)[{f⁽ⁿ⁾(0)/n!}・xⁿ]　…④

と表現される。

実際にテイラー展開を用いて関数の値を計算するときは、当然無限項の和は計算できないので、有限個の項で打ち切って計算することとなる。項数は求める精度によるが、一般的にはxがaに十分近い場合や、係数の分母に階乗がある場合は少ない項数でも高精度で計算することができる。

なお、ここでは変数xを実数として考えたが、変数を複素数に拡張してテイラー展開を考えることもできる。

具体例

以下に、いくつかの関数のx=0のまわりのテイラー展開（マクローリン展開）を掲載する。主に、表式が簡単となる関数について掲載する。
なお、三角関数は弧度法とし、対数関数は自然対数とする。
xの変域がない式は収束半径が∞であり、任意のxについて成立する。

関数1/(1-x)

1/(1-x)=Σ(n=0→∞)xⁿ=1+x+x²+x³+…　(-1<x<1)

等比級数の公式そのものである。

三角関数sinx、cosx

sinx=Σ(n=0→∞){(-1)ⁿ/(2n+1)!} x²ⁿ⁺¹=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…
cosx=Σ(n=0→∞){(-1)ⁿ/(2n)!} x²ⁿ=1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…

マクローリン展開の式でも、微分でsinx→cosx→-sinx→-cosx→sinx→…と変化することが分かる。
sinxは奇関数なので奇数次のみ、cosxは偶関数なので偶数次のみとなる。

指数関数e^x

e^x=Σ(n=0→∞)(1/n!)xⁿ=1+x+x²/2!+x³/3!+…

マクローリン展開の式でも、微分しても変わらない表式となる。

逆三角関数arctanx

tanx(-π/2<x<π/2)の逆関数。

ar ctanx=Σ(n=0→∞){(-1)ⁿ/(2n+1)}x²ⁿ⁺¹=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…　(-1≦x≦1)

収束半径は1。収束半径上の点x=±1においても成立。奇関数なので奇数次のみ。

対数関数log(1+x)

logxがx=0において定義されないので、log(1+x)としてx=0のまわりの展開を考える。

log(1+x)=Σ(n=1→∞){(-1)ⁿ⁺¹/n}xⁿ=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…　(-1<x≦1)

収束半径は1。収束半径上の点x=-1では発散するが、x=1においては成立する。

双曲線関数sinhx、coshx

sinhx=Σ(n=0→∞){1/(2n+1)!} x²ⁿ⁺¹=x+x³/3!+x⁵/5!+x⁷/7!+…
coshx=Σ(n=0→∞){1/(2n)!} x²ⁿ=1+x²/2!+x⁴/4!+x⁶/6!+…

sinhx=(e^x-e^-x)/2、coshx=(e^x+e^-x)/2という表式通りの形となる。
三角関数の式の符号を全てプラスにした形となる。

逆双曲線関数artanhx

tanhx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)の逆関数。

arta nhx=(1/2)log{(1+x)/(1-x)}=Σ(n=0→∞){1/(2n+1)}x²ⁿ⁺¹=x+x³/3+x⁵/5+x⁷/7+…　(-1<x<1)

収束半径は1。収束半径上の点x=±1では発散する。
logを使った表式のため、logの値の計算に利用でき、値によっては収束が速くて有用。

テイラー展開単語

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