白銀比とは、
まず、長方形を1つ考える。長いほうの辺を半分にすると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺の比を白銀比という。
もっと具体的にいうと、1:√2である。この比は古くから日本の建造物に用いられている。2辺の比が白銀比であるような長方形を白銀長方形といい、印刷紙にも使われている。
上記のとおり作図したとき、長方形ABPQが白銀長方形であることを示す。
Bを中心とした、半径BCの円を描く。
その円と対角線BDとの交点をEとする。
EPを結ぶ。
Eを通り、辺BCに垂直な線を描き、辺BCとの交点をP',辺ADとの交点をQ'とする。
辺BCと線分BEは長さが等しい。
対角線BDと線分BPも長さが等しい。
角CBDと角EBPは同じ。
よって、三角形BCDと三角形BEPは合同。
よって、三角形BEPは、BPを斜辺とした直角二等辺三角形である。
線分EP'は線分BPに垂直なので、三角形BEP'と三角形PEP'は合同。
よって、P'は線分BPの中点である。
したがって、長方形ABP'Q'は、長方形ABPQの長いほうの辺を二等分して得られる長方形である。・・・(1)
線分EP'と線分DCは平行なので、三角形BEP'と三角形BDCは相似。
よって、線分の長さの比で、BP':BE = BC:BDが成り立つ。
線分BE,線分BCは線分BAと長さが等しく、線分BDは線分BPと長さが等しい。
よって、BP':BA = BA:BPが成り立つ。
したがって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQは相似。・・・(2)
前述の証明は、白銀比の具体的な値を用いない証明である。しかし1:√2であることがわかれば、「ピタゴラスで一発」でだいたい通じる。ちゃんと書こうとすると次の通り。
辺ABの長さをaとする。
辺ACの長さもaなので、ピタゴラスの定理より対角線BDの長さはa√2である。
よって、線分BPの長さもa√2である。
したがって、辺ABと線分BPの長さの比は、1:√2である。
ゆえに、長方形ABP'Q'は白銀長方形である。
掲示板
10 ななしのよっしん
2015/12/12(土) 00:03:40 ID: /REQYK73HD
>>9
>1:√2となる二等辺三角形
それは直角二等辺三角形なので、意味はかなりあると思います。
11 ななしのよっしん
2016/09/28(水) 23:15:20 ID: fhjm9EsZQ2
つかそもそもモデル体型自体
人類の歴史の中ではごくごく最近に出てきたものだし
それが人類の普遍的な美とは全然思えない
12 ななしのよっしん
2016/11/05(土) 15:22:45 ID: TWrStce2R+
>>9>>10
黄金三角形調べてみたけど、普通は側辺の方が長くて側辺:底辺=φ:1てなってるな
これだと側辺:底辺=√2:1の三角形は確かに謎かな
一方で黄金三角形の場合は、側辺と底辺を逆にしても正五角形に対角線引くと現れるから、そこが黄金比の意味深な所か
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最終更新:2024/04/18(木) 21:00
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