素数

素数（prime number）とは、自然数のうち自身と1でしか割り切ることのできない数のことである。但し1を除く。

主に暗号理論や精神安定剤として重用される。

素数の一覧（1000未満）

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997,...

続きがもっと見たい、という方は「素数の一覧」記事を参照。

数学的性質

素数という概念は、紀元前1600年ごろには（部分的にだが）知られていたようである（ソースはWikipedia）。にも関わらず、双子素数の予想、ゴールドバッハの予想、リーマン予想など、素数に関連する多くの予想が現在も未解決のままである。それゆえか、素数は神秘的な数と言われたりもする。

また、大きな数の素因数分解は困難であるため、暗号理論に応用されている。

環論における既約元、素元は、素数の概念の一般化である。

素数は無限に存在する

有名なユークリッドによる証明（『原論』第9巻命題20, 紀元前3世紀頃）を紹介する。他にもたくさんの証明が存在する。詳しくは素数が無数に存在することの証明 - Wikipediaを参照。

素数が有限個しか存在しないと仮定する。素数の全体を p₁, p₂, ... , p_n とおく。ここで、新たな数 p = p₁×p₂× ... × p_n +1 を考える。p を p₁ で割った余りは1だから、p は p₁ で割り切れない。同様に p₂, ... , p_n でも割り切れない。よって p は素数である。一方、 p はどの p₁, p₂, ... , p_n よりも大きい。だがこれは素数の全体が p₁, p₂, ... , p_n であることに矛盾する。よって素数は無限に存在する。

素数定理

素数が自然数の中にどのぐらいの「割合」で存在するのかを示唆する定理であり、18世紀末にガウスやルジャンドルによって予想され、1896年にプーサンとアダマールによって独立に証明された。詳しくは素数定理 - Wikipediaを参照。

正の実数 x に対して、x 以下の素数の個数を π(x) と表す。このとき、π(x) と x/log x の増加速度は "同じぐらい" である。正確に言うと、 lim_x→∞ π(x) / (x/log x) = 1 が成り立つ。

2019年1月現在確認されている最大の素数

2^82589933-1である。（2018年12月にGIMPSにより発見）

十進数で2486万2048桁にも及ぶ。

また、メルセンヌ素数（2ⁿ-1で表せる素数）の中で人類が発見したものを小さい順に並べたとき、51番目に来るメルセンヌ素数である。ちなみに、1〜47番目のメルセンヌ素数までは「隙間なく」発見されているが、47, 48, 49, 50, 51番目のメルセンヌ素数の間にまだ発見されていないメルセンヌ素数が存在するのかどうかはわかっていない（2019年1月現在）。詳しくはメルセンヌ数および巨大な素数の一覧（いずれもWikipedia）を参照。

100以下の素数の覚え方

兄	さん	五時に	セブン	イレブン。	父さん	「いーな」と ついて	いく。
2	3	5	7	11	13	17	19

兄さん	肉屋に	さぁ行こう。	南は	良いとこ。	与作は	死なない。
23	29	31	37	41	43	47

誤算の	悟空は	6位。	空しく	ない。
53	59	61	67	71

奈々さん	泣くな。	ハチさん	吐くな。	苦難の道を乗り越えよう。
73	79	83	89	97

素数の利用例

『落ち着け、素数を数えるんだ。』

上記台詞を漫画「ジョジョの奇妙な冒険ストーンオーシャン」にてプッチ神父が使用したことにより、慌てふためいた発言や言動に対して落ち着かせるために使用される。神父曰く、「素数は１と自分の数でしか割ることのできない孤独な数字・・・。わたしに勇気を与えてくれる」

ただしこれは「素数を数えれば落ち着く」元ネタでは無く、それ以前でもスティーブン・キングの小説などで見られた表現である。

またニコニコ動画内では、動揺するような場面が出てきた場合、「2、3、5、7、11、13……」と素数をコメントしたり、動画内で素数を数えるMADが出てきたりなど、様々な活用が見られる。

もっとも、動揺しすぎて「2、4、6、8・・・」となぜか偶数を数え始めるものや、⑨を素数と主張するものも多数存在している。

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プッチ神父 ZETA　～素数の世界と超越者～ 別に素数じゃありませんよ セミ（記事内の『セミは素数を知っている？』項目参照） 東工大（素数好きの人が多いと言われており、素数に反応して喜ぶレゴが作られたりしている。） 素数大富豪 素数動画シリーズ 全ての素数の積