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コンパクトとは、
- 小さくまとまっていること。コンパクトカー、コンパクトディスクなど。
- 化粧道具の一つで、鏡のついている手のひらサイズのファンデーション。セーラームーンはこれで変身する。
- 集合上に定義されたある数学的性質。
である。3について記述する。
概要
コンパクトとは、以下の性質をいう。
を任意に与えた場合、有限個のα1, α2,…αm∈Aを取り出して、
- X=∪mi=1Oαi
とすることができる。
言い換えると、ある位相空間Xを開集合Oα∈Aのあつまりで不足なく覆えたとき、Oαが非加算無限個であっても、必ずある有限個のOmを取り出せばXを十分多い尽くすことができるという性質である。正確ではないが、Xは有限の大きさを持つ閉集合というイメージが近い。
次の捕題は位相空間がコンパクトであるための条件を与える。
- Fを実数、複素数、または四元数とする。n次ベクトル空間Fn、m行n列の行列の集合M(m,n,F)の有界閉集合はコンパクトである。逆に、Fn,M(m,n,F)の部分集合がコンパクトであれば有界閉集合となる。
- Xを距離空間とする。Xの任意の点列が収束する部分点列を持つとき、Xはコンパクトである。逆に、XがコンパクトであればXの任意の点列は収束する部分点列を持つ。
次の性質は重要である。
- コンパクト空間X上で定義された連続関数f：X→Rは最大値および最小値を持つ。
- コンパクト空間Xの閉集合Yはまたコンパクトである。
- X,Yをコンパクト空間であるとすると、直積空間X×Yもコンパクト空間になる。
コンパクトという性質を仮定することで関数の連続性や収束、表現などの議論がしやすくなる。逆に言うと、コンパクトでない位相空間について議論することは難しいので、いまだに未知のことが多い。
例
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関連項目
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