コンパクト単語

コンパクト

コンパクトとは、

  1. さくまとまっていること。コンパクトカーコンパクトディスクなど。
  2. 化粧具の一つで、のついている手のひらサイズファンデーションセーラームーンはこれで変身する。
  3. 集合上に定義されたある数学的性質。

である。3について記述する。

概要

コンパクトとは、以下の性質をいう。

Xを位相間とする。Xの開被覆

を任意に与えた場合、有限個のα1, α2,…αm∈Aを取り出して、

  • X=∪mi=1Oαi

とすることができる。

言い換えると、ある位相間Xを開集合Oα∈Aのあつまりで不足なく覆えたとき、Oαが非加算限個であっても、必ずある有限個のOmを取り出せばXを十分多い尽くすことができるという性質である。正確ではないが、Xは有限の大きさを持つ閉集合というイメージが近い。

次の捕題は位相間がコンパクトであるための条件を与える。

次の性質は重要である。

コンパクトという性質を仮定することで関数の連続性や収束、表現などの議論がしやすくなる。逆に言うと、コンパクトでない位相間について議論することは難しいので、いまだに未知のことが多い。

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