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コンパクト
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コンパクトとは、

  1. さくまとまっていること。コンパクトカーコンパクトディスクなど。
  2. 化粧具の一つで、のついている手のひらサイズファンデーションセーラームーンはこれで変身する。
  3. 集合上に定義されたある数学的性質。

である。3について記述する。

概要

コンパクトとは、以下の性質をいう。

Xを位相間とする。Xの開被覆

を任意に与えた場合、有限個のα1, α2,…αm∈Aを取り出して、

  • X=∪mi=1Oαi

とすることができる。

言い換えると、ある位相間Xを開集合Oα∈Aのあつまりで不足なく覆えたとき、Oαが非加算限個であっても、必ずある有限個のOmを取り出せばXを十分多い尽くすことができるという性質である。正確ではないが、Xは有限の大きさを持つ閉集合というイメージが近い。

次の捕題は位相間がコンパクトであるための条件を与える。

  • Fを実数複素数、または四元数とする。n次ベクトル間Fn、m行n列の行列集合M(m,n,F)の有界閉集合はコンパクトである。逆に、Fn,M(m,n,F)の部分集合がコンパクトであれば有界閉集合となる。
  • Xを距離間とする。Xの任意の点列が収束する部分点列を持つとき、Xはコンパクトである。逆に、XがコンパクトであればXの任意の点列は収束する部分点列を持つ。

次の性質は重要である。

  • コンパクト間X上で定義された連続関数f:X→Rは最大値および最小値を持つ。
  • コンパクト間Xの閉集合Yはまたコンパクトである。
  • X,Yをコンパクト間であるとすると、直積間X×Yもコンパクト間になる。

コンパクトという性質を仮定することで関数の連続性や収束、表現などの議論がしやすくなる。逆に言うと、コンパクトでない位相間について議論することは難しいので、いまだに未知のことが多い。

  • 実数複素数全体はコンパクトではない。
  • (0,1)、(0,1]、[0,1)はコンパクトではない。[0,1]はコンパクトである。
  • Gを位相群とするとき、Gの閉部分群Hはコンパクト群になる。

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