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ポアンカレ予想単語

ポアンカレヨソウ

ポアンカレ予想(Poincaré conjecture)とは、1904年にフランス数学アンリ・ポアンカレ(Jules-Henri Poincaré)によって提言され、その後100年もの間未解決であり、その後ミレニアム懸賞問題(賞100万ドル)にもかけられた位相幾何学の大難題である。

予想の内容は、以下の通りである。S3は、4次元座標で現された間で{(x, y, z, ω)∈R4 | x2+y2+z2+ω2=1}を現す。

連結3次元多様体3次元球面S3に同相である。

"Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3."

用語解説

(閉)多様体とは

まずは、2次元を例に解説しよう。今、自分がいる場所を地だと思って、自分を中心に座標軸をイメージしよう。左右がx軸、前後がy軸だ。このとき、x軸とy軸は地面もしくは面に沿っているものとする。本来、座標軸は原点以外で交わらないし、ループもしないはずだ。しかし地球上で考えると、座標軸は反対側で交わるし、ループもしている。これでは璧な座標軸とは言えない。

それでも全く意味なわけではない。自分の視界に入る範囲内など、ある程度狭い範囲であれば、地球上に座標軸を設定しても問題は生じないのだ。それで地図を描くこともできる。これは地球上のどの地点にいても同じ。このように、どの地点からでも、ある程度狭い範囲で座標が設定できる図形を多様体という。

多様体の中でも、大きさが有限のものを閉多様体という。2次元で例をとると、球面トーラス等がある。座標面はどこまでも面が続いているので、閉多様体ではない。また、大きさが有限であっても端があるものは、多様体ではないので注意。球面に切れを入れてしまうと、多様体ではなくなる。

では、3次元の閉多様体とはどのようなものがあるだろうか。そう言われてもイメージ辛い人が多いだろう。それもそのはず。3次元の図形を、より高次元間で考えなければならないからだ。言うなれば、宇宙間の外から見るようなものである。実際どのようなものがあるかというと、前述の3次元球面が代表的なものである。

単連結とは

簡単に言うと、がない図形のこと。例えば、球面がないので単連結である。対して、トーラスは切れはないものの、外側から見ればが貫通しているように見ることができる。よって単連結ではない。厳密には、図形に沿って1周させた紐が必ず図形に沿って1点に収縮できるものを言う。実際に球面は、どのように紐をかけようと必ず1点に収縮できる。トーラスの周りにぐるりと紐をかければ、1点に収縮することができない。

同相とは

形を連続的に変化させることができる、ということ。具体的には、一方の図形を曲げたり伸ばしたり縮めたりして、他方の図形に変形できるということ。例えば、が1つの図形はいかなる図形もすべて同相である。

トポロジーでは、こういった同相な図形を「同じもの」として考えている。「の数」などの大まかな構造が同じであれば、細かな凹凸の違いなどは視して「同じ」と呼んでいるのである。

ポアンカレ予想解決に向けた推移

本章では、ポアンカレ予想が提唱されてから解決に至るまでの大まかな歴史を述べる。

氏名 仕事の内容 具体的な仕事を述べた文献・論文

1904

 

J. H. Poincaré

[1]H. Poincaré, Oeuvres, Tome VI, Paris 1953.

 

1930-

 

J. H. C. Whitehead

以後、ホワイトヘッド多様体と呼ばれる「R3に同相でない単連結でない非コンパクト多様体」を数例発見[2]。

[2]J. H. C. Whitehead, Mathematical Works, Volume II, Pergamon 1962.

1960

 

S. Smale
A. Wallace

定理「Mn次元n ≥ 5 の微分ホモトピー球面とする。MnはSnと同相である。実際、Mn は2個の閉n次元球体の界を微分同相写像で貼り合せて得られる多様体微分同相である。」を発案。高次元におけるポアンカレ予想明されたことを報告した[3][4]。微分性に着して攻めたことが特徴。

(明は、n>6においてはA. Wallaceによって明済[5])

[3]S. Smale, Generalized Poincar´e’s conjecture in dimensions greater than four,
Annals Math. 74 (1961) 391–406.

[4]S. Smale, The story of the higher dimensional Poincar´e conjecture (What actually happened on the beaches of Rio), Math. Intelligencer 12 (1990) 4451.

[5]A. Wallace, Modiffcations and cobounding manifolds, II , J. Math. Mech 10
(1961) 773–809.

1982 M. H. Freedman

残った3次元4次元ポアンカレ予想のうち、4次元の問題を解決。Freedmanの定理「2つの単連結4次元多様体が位相同であることと、同じ双線形形式β を持ち、同じカービー・ジーベンマン不変量κ を持つこととは同値である。任意のβ はそのような多様体の双線形形式となり得る。もしもあるx ∈ H2 に対し、β(x⊗x)が奇数ならば、κ のいずれの値もとりうる。β(x⊗x)が常に偶数ならばκβ の符号数の8分の1と合同となり、β により決まった値をとる。」を発案・明した[6]。

[6]M. H. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17
(1982), 357453.

 

1982-

 

W. Thurston

Thurston Programとよばれる3次元多様体の分類に関する理論の構築。3次元多様体は、2次元球面2次元トーラスに沿って一意的に構成部分ごとに分離される。Thurston Programによれば、3次元の幾何は8つの構成に分離されることが予測されていた。8つのうち6つは、良く知られたものであるが、残り1つがあまり良く知られていなかった[7]。

 

[7]W. P. Thurston, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic
geometry, in “The Mathematical heritage of Henri Poincar´e”, Proc. Symp. Pure
Math. 39 (1983), Part 1.

1982

 

R. Hamilton

Thurston Program明。その明の過程で用いた「リッチ・フロー」とよばれる微分幾何の概念を作り出し、Perelmanの仕事に貢献[8]。

[8]R. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Diff. Geom 17 (1982), 255306.

2002

2003

G. Perelman 自身の専門である微分幾何学を用いて、リッチフローの導入やエントロピーなど物理学標を導入するなど、突出した方法で3次元多様体におけるポアンカレ予想 次章で紹介

 

G. Perelmanの論文

 1)G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159exit (2002).

 2)G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109exit (2003).

 3)G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math.DG/0307245exit (2003).

参考文献

 J. Milnor (2004). "The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report"exit (PDF). http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdfexit. Retrieved 2007-05-05

関連動画

…つまり、どういうこと?

解りやすくなるかは分からないが、易な言葉で書き換えてみよう。 

微分幾何学や解析幾何学などの従来の幾何学は、図形を複雑な数式として表現し、方程式の解析によって得られる数値を考察して幾何というものを考えてきた。これらは数値という厳密な結果が拠となるため、より正確な解釈を可とするものの、図形の持つ構造など全体像を把握する場合は計算の煩雑さにより、時間がかかる、または厳密解が出せないなどの欠点があった。

対して位相幾何学は、数式による厳密な議論はなるべく少なめに抑え、図形から図形へ連続的に変化できるか否かを考察することで図形の構造を解釈しようと試みる「柔らかな幾何学」である。図形から図形への変化は、図形を切ったり貼り付けたりすることは禁則として、粘土を伸縮させるように行う。例えば、取っ手のついた粘土で作られたコップは、取っ手のを塞がない様に形を変えるとドーナツの形(トーラス)になる。つまり、「取っ手のついたコップの開いたドーナツの開き方や滑らかさなど大体同じ構造をしている」と捉えられる。これが位相幾何学アプローチである。

図形と図形の連続的な変形ができるか否かは、3次元であれば直感で判断できるが、4次元以上に対しては直感だけで判断するのは困難である。そこで一般的に、図形に点を入れる、紐を掛ける、面を貼り付けるなどの操作を、数学的な定義に則って行い、解釈するという方法が取られる。

直感の人ポアンカレは、「い有限の体積を持った4次元間の3次元の表面は、4次元ボールの表面と同じ構造なのではないか?」という予想を提案した。ニコニコ動画の中では、この状況を良く宇宙で表現する。相対性理論では、間は3次元+時間の4次元で表される。宇宙が「一定の大きさを持った、間」であるならば、宇宙の構造はどんな図形と大体同じなのか?これを解決してみようとしたのである。

一見当たり前に見えた予想は、実は100年間不可能であった難問であった。4次元をn次元と拡したところ、5次元以上の場合は2次元面の貼り付け方が自由であることが分かり、SmaleやWallasらによって高次元に拡した場合のポアンカレ予想明された。

一方、3次元4次元の場合は、2次元面を自由に配置することが出来ない。そのため、構造の解析が複雑になり高次元の場合よりも困難となる。そこでFreedmanは、4次元の場合においては構造が大体同じである、という意味を位相幾何学において構造決定の役割を担う量とを結びつけて分類し、4次元の場合のポアンカレ予想明に成功した。

残る3次元は、視できない制限が4次元の場合よりも多く、Freedmanの明はそのまま適用できない。Thurstonは、「考えている3次元の図形を分かりやすい2次元面の組み合わせで分類できないか」という構想の下、3次元の図形の分類表を作るための幾何化予想(Thurston Program)を提案した。この結果、サーストンの幾何化予想が正しければ、ポアンカレ予想明できることが方向付けられたのである(サーストンは自身の予想の明を断念している)。

キノコ狩り数学Perelmanは、構造分類についてリッチ・フロー(Ricci flow)と呼ばれる方程式を用いて、構造分類の量をエントロピーなど熱力学などで現れる物理量に対応させて明を行った。これは、Perelman数学だけでなく、物理学や数理物理学にも秀でていたことに起因しているのではないかと考えられている。明後、彼の姿を見たものはいるのだろうか・・・

もっと平易にすると

地球のある一点からある方向に限に長い紐つきのロケットを発射したとする。もしもロケット宇宙を一周して地球に帰還したとして、この紐を引っって回収できるのか?できた場合、宇宙は球形といえるのか?という問題に対する予想である。

さらに強引にまとめると、(宇宙間全体をさながらビルに例えたとする。ビルの外に沿って紐をぐるりとくくりつけることが可だった場合、そのビルの外観はどんな形をしていると考えられるだろうか?という問題に対する予想である。

あえて誤解を恐れずにさらに簡単にすると、(宇宙間の表面の図形を計算で表現できるか?という予想である。

なるほど、まったくわからん

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読み:ポアンカレヨソウ
初版作成日: 11/06/15 02:54 ◆ 最終更新日: 17/12/03 13:14
編集内容についての説明/コメント: 関連項目にトポロジー追加、フェルマー予想をフェルマーの最終定理に修正。ほか
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ポアンカレ予想について語るスレ

49 : ななしのよっしん :2017/10/12(木) 01:34:32 ID: flAKbhu1NF
>>47
え、宇宙ってループしてるの?
初めて知ったわ
50 : ななしのよっしん :2017/12/03(日) 13:44:55 ID: N5Wq6vhRUh
インチキして途中で戻ってきてもバレないってだけやでw
51 : ななしのよっしん :2017/12/28(木) 19:23:50 ID: 3VQ9UhRNGx
>>49
位相幾何学でいうループって>>47の言うとおりだけど、
々の知っている物理法則に倣えば、単純に地球を一周することと同義だからね?
元の場所に帰ってくるだろ? それがループ

>>43
限かどうかは明されてない
四次元的には宇宙の中心はビッグバンが起こった間であって、宇宙の果てが存在するならば、それは時間と間が止まってしまう場所になる
もしも限ならば時限に膨する、というだけの話

ちなみに一般相対性理論を適用すれば、宇宙の果ては現在の座標と同義
座標系があくまで相対的なものである限り、今いるところが時間と間の果てと言い換えることができる(同時性の破れによって干渉できない故)
逆に言えばそう、今こうしている間にも時間と間が全に停止する可性もあるわけだ
52 : ななしのよっしん :2017/12/28(木) 19:34:09 ID: 3VQ9UhRNGx
三次元球面S3について
二次元球面S2(ボールの表面みたいなもん)は、中心から等距離にある点(次元球体)の集合だけど、S3の場合は線(一次元球体)の集合になる
ここで注意しなくてはならないのは、一次元球体は円周であるということ
つまり、間を円周で覆いつくすようなもんを想像すれば少しは理解できるはず
間が三次元の同一方向にループできるっていうだけのもので、ただの球面に過ぎない
53 : ななしのよっしん :2017/12/28(木) 19:40:39 ID: 3VQ9UhRNGx
ポアンカレ予想を一般向けに簡潔に表すなら
四次元の球の表面って、トーラスじゃないんじゃね?」ってところか
球面三次元投影するとトーラスっぽい形になるけど、厳密には違うだろ! ってことが言いたい予測
54 : ななしのよっしん :2018/06/24(日) 13:19:34 ID: HAbywPRasb
>>42
現代数学の最先端なんて大体こんなもんよ
55 : ななしのよっしん :2018/09/25(火) 19:17:06 ID: Zf5Tl9eKsa
これを見るといかにフェルマーの最終定理が理解しやすく、かつ難しかったのかがわかる
すげーな
56 : ななしのよっしん :2018/12/03(月) 23:01:17 ID: ODF0718mmB
説明見てから冒頭にもどってポアンカレ予想見ると単純なことに思えるのに…
数学世界ってすげー
57 : ななしのよっしん :2019/01/26(土) 01:32:31 ID: F/Ip/ht2AF
正しいと明されたんだから、
フェルマーの最終定理みたいにポアンカレ定理に呼び名変わらないんですかね?
58 : ななしのよっしん :2019/02/12(火) 03:09:47 ID: 3VQ9UhRNGx
直感的に紐掛けゲームは全間がループしてるわけだから1点に集約できることはわかるな
球はどんなに次元をあげても座標が増えるだけで0次元の点と原理は変わらんわけだし
こんな直感的にわかるようなことを厳密に明しようとしだすととんでもない労が必要になるっていう、数学あるあるだわ

ちなみにペレルマン博士の功績により、今後は三次元球面S3を扱う際には三次元の単連結多様体として研究することが可になった
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