モンティ・ホール問題単語

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モンティ・ホール問題とは、確率論の有名な問題の一つ。
問題の内容自体は単純明快であるものの、「直感的な答えと、きちんと確率論に則って導き出された答えが異なる」という人が後を絶たない。
発表された当時、多くの数学者の黒歴史を産み出した。

問題

元ネタアメリカ長寿番組『Let's Make a Deal』中に登場したゲームで、それを元にスティーブセルビンがルールを明確に定めた確率の問題を作成した。
元ネタになった実際の番組での会者の行動は、セルビンの問題の厳密なルールとは異なった)→Wikipediaexit

その番組会はモンティホール。問題の名称は彼に由来する。

確率問題としてのルールは以下の通り。

  1. プレイヤーの前にはA,B,Cの3つのドアがあり、そのには当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
  2. プレイヤードアを1つ選択する(この時点では開かない)。
  3. モンティは正解のドア把握しており、残された2つのうちから必ずハズレの方のドアを開ける(残された2つが両方ともハズレの場合はどちらかをランダムに開ける)。
    これはプレイヤーの回答に関わらず必ず行われ、これらのルールプレイヤーも認識している。
  4. モンティは「今なら選択を変更して構いませんよ?」とプレイヤーに問いかける。

さて、このときプレイヤー最初の選択を変更するべきか、否か?

よくある間違い

これらは間違いである。
ゲームルールが異なっていたり、ゲームの一場面を抜き出して解釈した場合、間違いではなかったりする。

解答

最初にプレイヤードアを選択した時点では、

選んだ1枚のドアが当たりである確率 …… 1/3
選ばなかった2枚のドアのうちどちらかが当たりである確率 …… 2/3

  • もし選んだ1枚が当たりなら
    残された2つのドアはどちらもハズレのため、会者がどちらを開けようとも選択を変えないのが正解。
  • もし選ばなかった2枚のどちらかが当たりなら
    残された2つのドアのうち片方はハズレであり、会者は必ずこのハズレドアを開ける。
    となれば最終的に残ったドアは必ず当たりであるから選択を変えるのが正解。

さて先ほど述べたように、最初に当たりを引く確率は1/3、ハズレ確率は2/3である。
これはつまり、最初の選択のままで当たる確率が1/3、選択を変えると当たる確率が2/3であると言い換えることができる。
したがって、変更した方が2倍の確率で当たるので変更すべきである。

バリエーション

初めから正解の位置が決まっている(選択前後にヤギが移動しない)」「モンティ外れのドアを開けるという行動を必ず行う」ということをプレイヤーが知っている」問題文となっているが、それぞれを変えることで期待値の計算も変わる。

プレイヤーが選択→モンティヤギを開く、の間にのみが動く場合は期待値は変わらないが、モンティヤギを開いたあとが残ったランダムに移動すれば「選択肢を変更することでを選ぶ確率」は1/2に、「最終的にを得る確率」は1/2となる。移動するか否かをランダムではなくプレイヤーの選択に合わせて変える場合も確率が変わる。プレイヤーが選択したが移動してからモンティヤギを開く条件ならば当然選択肢を変えない方がよい。そのように移動することをプレイヤー事前に知らなければ計算と結果が合わずイカサマ番組と批判されることとなる。

モンティを開くルールを「残ったからランダムに開き、なら終了、ヤギならプレイヤー選択肢を変える権利を与える」という条件に変更すれば「選択肢を変更することでを選ぶ確率」は1/2になり、「最終的にを得る確率」は1/3となる。

プレイヤーが「モンティを開くルールを認識しているか否か」に関係なく、モンティをどのようなルール(余ったのうち必ずヤギを開く、といったルール)に基づいて開くかで実際の確率が決まってくるが、を開くルールを知らなければプレイヤーモンティ行動確率として計算に盛り込むことができない。

プレイヤーが要件を正確に把握していない場合、プレイヤーの知り得る情報から得た期待値とモンティ側が設定した期待値が異なり得るため、正確に計算をすることが出来ない。モンティヤギ部屋から移動させないのにプレイヤーが勝手に移動し得る前提で計算しては推定と実際の統計に齬が出るだろう。

認識のずれであったり「常識的に考えてこうなる」の常識のずれであったりして問題文に盛り込み忘れることもあるので事前にすり合わせが必要になることもある。

得られた確率も、「選択肢を変更した後にを選ぶ条件付き確率」なのか「プレイヤーが最終的にを得られる確率」なのかを明示しないといけない。

感覚的に納得できないのは、このあたりも要因もあるものと思われる。

まだ納得できないなら

話の流れを別の言葉に置き換える

ゲームの流れとしては2で「ドアを一つ選択する」、4で「選択を変える」と言う表現がされている。
しかし、よくよく考えてみると最終決定がされるのは4の時点なのであるから、プレイヤーが本当に「当たりのドアを選択する」必要があるのは4の時点であり、2の時点で当たりのドアを選ぶ必要は一切ない
言い換えれば、2の時点でのプレイヤーは「ドアを『選んだ1つ』と『選ばれなかった2つ』」に組みわけしているだけである。
だとすれば、ゲームの流れは以下のように表記される。

  1. プレイヤーの前に3ドアがあり、当たりが1枚、ハズレが2枚ある。
  2. プレイヤードアを1枚選択し、ドアを1と2の2組に分ける。
  3. プレイヤーは以下のA/Bの行動からどちらかを選ぶ
    A「プレイヤーは1ドアの組を選ぶ。それを開ける。」
    B「プレイヤーは2ドアの組を選ぶ。そこから自動的にハズレが1つ除外されるので、残りを開ける。」

このように表記されれば、感覚的にもどちらが当たる確率が高いかは一瞭然であろう。

ドアの数を増やす

ドアの数を100枚に増やしてみよう。当たりのドアは1つで、残り99枚はハズレ
この状況でドアを1つ選んだ場合、プレイヤーが当たりを引く確率は1しかない。
つまり、逆に言えば99確率で選ばなかった99枚のドアのうちのどこかにアタリがあるわけである。

さて、プレイヤードアを1つ選ぶと、モンティは次々とハズレドアを開けてゆく。
最終的に98枚のドアを開けた。

そして今、自分が選んでいるのは「1確率で当たりを含んでいるドア1枚」であり、の前には「99確率でどこかに当たりを含む99枚のドアから、98枚のハズレを除去した残り1枚」が存在している。
となれば、いつ選択を変更するか?今でしょ!

この問題が有名になった経緯

元々この問題(とその解)はスティーブセルビンが『The American Statistician(アメリカ統計学者)』誌に「確率の問題」として1975年に発表していたが、1990年マリリンボスサヴァントが連載する雑誌『Parade(パレード)』のコラム欄に、読者からこの問題が投稿されたことで大々的に再注された(マリリン1986年最高IQ保持者としてギネス登録されていた)。

この時マリリン「変更すべきである。当る確率が2倍になるからだ。」と解答した。
かしこれには数多くの反論が殺到。その中には博士号所持者からの物もかなりあった。
対するマリリンは表や解説を掲載する等、理解を得るために手を尽くした。それでも反論・批判は止まず。

(前述の通りこの問は解法と同時に15年前に開されていたが、その当時も多くの反が寄せられておりその中には反論もあったのでセルビンは半年後にルールを明確にする追加の解説開していた)

話を聞いたアンドリューヴァージョニが、自前のパソコンを用いてゲームシミュレーションを数回ほど行った。
その結果は……なんとマリリンの回答と一致した。
ありえん(笑)」と反論していた多くの数学者も、これには思わず冷や。すぐさま手のひらを返した。
かくしてマリリンは、数万通にも及ぶしい反論に耐え、自らの理論が正しいという事を明したのであった。
ちなみに博士号所有者の反論のうち、いくつかは雑誌に名前付きでされてしまい、逆に嘲笑を浴びることとなった。

問題文の曖昧さについて

Parade』に投稿された質問の手紙では、この問題は以下のように書かれていた。(一部分)

(原文)Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

翻訳あなたがゲーム番組に参加していて、3つのドア選択肢が与えられているとします。1つのドアの後ろにはがあり、 他の後ろにはヤギがいます。
あなたは1つのドア(例:1番)を選び、ドアの後ろに何があるかを知っている会者が、ヤギがいる別のドア(例:3番)を開きます。 それから彼はあなたに「2番のドアを選びたいですか?」と言います。 
選択肢を切り替えることは、あなたに有利なのでしょうか?

(以下Wikipedia日本版からの引用) プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには品の新が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新ドアを当てると新がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤードアを変更すべきだろうか?

この部分だけを読んでは、会者の行動ルール定義会者は必ずハズレドアを開く、それはプレイヤーの最初の選択がヤギかに関わらない、会者が開くドアは3番ではなく2番もありえる、など)が曖昧であり、ルールについて誤解をする可性があった。

しかし、このParade誌の質問文には一緒にマリリンの解も印刷されているし、さらに最初のコラムへ反論が来た後にマリリンがもっと詳しく解説した後でさえも数学者たちから更に大量の反論が来ているので、問題文の曖昧さが多くの数学者たちを間違えさせた原因とは言い切れないと思われる。

(参考:Wikipediaexit、下記参考資料)

参考資料

類題

ゲームポケットモンスター赤・緑」では物語の始めに、冒険の仲間となるポケモンを3匹のうちから1匹選んでオーキド博士から貰うイベントがある。ポケモンモンスターボールに入っており、ボールの外見は3つとも同じである。その後、博士の孫であるライバルが残りの2匹から1匹を選ぶ。そのポケモン属性三竦みになっており、属性の相性によりポケモンバトルで有利・不利が決まる。

Q.さて、主人公ライバルの選択のあと、オーキド博士主人公に対して「今なら余っているポケモンに変えてもいいがどうするか」と聞いてきたとする。次の設定の時に、主人公は選択を変更してライバルに有利なポケモンを選ぶことができる確率はいくらか。

ライバルオーキドが再選択の機会を与える前の段階で得られた情報から有利になる確率の高い選択をし、同確率ならばランダムに選ぶものとする。

1.主人公が選択する際、ボールの中身を確認できない。ライバルが選択する際、ライバル主人公の選んだポケモンを確認せず、残ったボールの中身を確認しない。

2.主人公が選択する際、ボールの中身を確認できる。ライバルが選択する際、ライバル主人公の選んだポケモンを確認せず、残ったボールの中身を確認する。

3.主人公が選択する際、ボールの中身を確認できない。ライバルが選択する際、ライバル主人公の選んだポケモンを確認するが、残ったボールの中身を確認しない。

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モンティ・ホール問題

557 ななしのよっしん
2022/04/01(金) 10:20:40 ID: dNAemD/531
いや、この問題の場合問題自体は曖昧ではないというか
有名なので今取り上げられる場合前提条件は明確になっている
その上で尚なんでそんな結果になるのかが分かりにくいから面いんだよ
558 ななしのよっしん
2022/04/20(水) 12:33:23 ID: K/N3flNJ2x
>555
3/4 ?
559 ななしのよっしん
2022/04/20(水) 12:38:43 ID: QEF0uV+JVl
>>555
女を0、男を1とすると、パターン
000
001
010
011
100
101
110
111
以上8通り
二人が女のパターン
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
560 ななしのよっしん
2022/05/12(木) 08:46:12 ID: /FYNZr84Ec
類題は別にモンティ・ホール問題じゃなくないか?

モンティホールの場合は「3つの内の1つに当たりがある」→「プレイヤーが選ぶ」→「選ばれなかった残りのドア達から1つを厳選」→最初のドア(1/3)と厳選されたドア(2/3)どっちを選ぶ???って話だと思うけど、

最後の問題は「当たりがない」→「プレイヤーが選ぶ」→「当たりが発生(ライバルが選ぶ)」→残されたポケモンと最初に選んだポケモンどっちを選ぶ???

って感じだよね?この場合「ライバルに有利なポケモンを選ぶ」確率の計算が始まるのは当然「ライバルポケモンを選んでから」なんだから、結局1/2と1/2になるんじゃね?

例えば既に「ライバルが既にポケモンを選んだ状態」で「3匹から1匹選ぶ」とかならモンティホール問題になりそうな気はするけどどうなんだろ
561 ななしのよっしん
2022/05/12(木) 10:15:31 ID: 4PAcipRUUn
類題は
1:50%
2:100%
3:50%
かな?
主人公は最後に絶対に選択を変更するからライバル確率=最終的に主人公が有利になる確率になる
主人公ボールの中身を確認できるかどうかは関係ない

1ならライバルはなにも情報把握できないのでランダムで選択する→主人公が選択を変えた場合、有利になる確率50%

2ならライバルは残ったボールの中身から主人公の選んだポケモン把握出来るので確実に有利なポケモンを選ぶ→結果、ライバルポケモンに有利なポケモンが残るので、主人公が選択を変えた場合、有利になる確率100%

(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
562 ななしのよっしん
2022/05/18(水) 16:31:18 ID: erQvxxZmBu
当たりを引いた時に様々な賞品追加、失敗しても賞の一部が保険としてもらえるオプション付きでクソデカい「変える!」ボタン
立たない色で小さく「変えません」ボタン

こういうダークパターンを採用したら、怪しんで「変えない」を押す人が増えたりしないかな
563 ななしのよっしん
2022/07/29(金) 21:46:24 ID: VbYH/Gdo5M
どうしても直感的に理解出来なかったんだけど、これって要は
モンティは正解のドア把握しており、残された2つのうちから必ずハズレの方のドアを開ける」
…この恣意的ルールが入ってるせいか?
そりゃあ会が必ずハズレを開けるならそうなるわな
全なランダムじゃないんならインチキな気がする
564 ななしのよっしん
2022/07/29(金) 22:59:56 ID: v5MQKggxNa
>>563
なぜかわからんのだが、否定されているのに「会は何も知らずランダムで開けられるドアが決定する」と勝手に考えちゃうんだよな。

これだと「必ず交換」の場合。
・最初正解を当ててたのに(1/3)、会がどっちを開けても外れしか残ってないから手放す失敗「1/3」。
・不正解選んで(2/3)、会に二択の内正解開けられ不正解しか選べない失敗「1/3」。
・不正解選んで(2/3)、会が二択の内不正解開けて残った正解に変えてラッキー「1/3」。

絶対交換しない場合はただの三択で正解1/3。よって交換してもしなくても同じという結論。
565 ななしのよっしん
2022/07/30(土) 01:25:46 ID: N3nP2k/CH0
>>555
今更だけどこれ1/2でしょ
「隣のに3人の子供がいる。そのうち2人は必ず女性であるとした場合残り1人が男である確率」なら3/4なんだけど「3人のうち2人が女性であることを観測した場合残り1人が男である確率」は1/2
>>559定義を借りると001,010,100,000のうちから00Xを観測したとするなら残る可性は001or000なので1/2。0X0,X00を観測した場合も同様に1/2
隣の子供確率問題が成立するには相当特殊な条件設定が必要で普通の文章で表現する分には絶対1/2としか解釈できない文章になるからモンティホール完成度とはべ物にならないと思う
566 ななしのよっしん
2022/08/02(火) 20:50:17 ID: orXi2Bc/kV
観測した女の子が長女か次女か末っ子かわかるのならばそうだと思う