ラッセルのパラドックス単語

ラッセルノパラドックス

ラッセル(Russell)のパラドックスとは、20世紀の数学バートランド・ラッセルが考えたパラドックスである。

概要

ニコ厨のあなたは、ニコニコ大百科に新しい記事を作ろうとしていた。
あなたが作ろうとしている記事は、次の二つだ。

記事A:記事の中に自分自身へのリンクがある記事の一覧
記事B:記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧

記事Aには多くの記事が当てはまる。例えば「ニコニコ動画」という記事には、本文中に「ニコニコ動画」という言葉があるため、記事の中に自分自身へのリンクが存在する。したがって、記事Aの一覧の中に入る。
一方、記事Bにも多くの記事が当てはまる。概要すら満足に書かれていない立て逃げされた記事や、リダイレクト用の記事などだ。

ニコニコ大百科に存在するすべての記事は、AとBのどちらかに属するはずである。つまり、この二つの一覧をあわせれば、ニコニコ大百科の全記事を網羅できる。

あなたは速、この膨大な作業に取り掛かった。長い日を、あなたはこの一覧の作成にげた。そしてついに、あなたは一覧完成の一歩手前までやってきた。
いまや、一覧に載っていない記事はたったの二つ――記事Aと、記事Bだけだ。あなたは、この二つも一覧に載せようとした。
記事Aは、記事Aに載せることにした。こうすれば、記事Aは「記事の中に自分自身へのリンクがある記事」になるので、記事Aの一覧の条件を満たすからだ。
次に、記事Bを一覧に入れようとして……あなたの手は止まった。

記事Bは、「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」だ。だから、記事Bを記事Bに載せることはできない。載せた間、記事Bは「記事の中に自分自身へのリンクがない記事」ではなくなってしまうからだ。
では、記事Aだろうか? だがそれもおかしい。記事Bには、「記事の中に自分自身へのリンクがない」から、記事Aには載せられない。

なんということだ! すべての記事は、記事Aか記事Bのどちらかに載るはずだ。しかし記事Bは、そのどちらにも、決して載せられないのだ!

数学的説明

上の説明で記事A、記事Bとしたものは、集合を意味する。それぞれの定義は以下の通りである。
集合A:自分自身を要素とする集合集合
集合B:自分自身を要素としない集合集合

集合Aには、例えば「要素の個数が限である集合集合」が属する。要素の個数が限である集合限に存在するので、「要素の個数が限である集合集合」もまた要素の個数が限となり、「要素の個数が限である集合集合」自身に属する。
一方、集合Bには、例えば「遊びの集合」が属する。「遊びの集合」は「集合」であって「遊び」ではないため、「遊びの集合」に「遊びの集合」自身は属さない。

すべての集合は、自分自身に属するか、属さないかの、どちらかである、つまり、すべての集合は、集合AかBのどちらか一方だけに属するはずである。
1)集合Aについて。
どちらでも良い――どちらかではあるが、どちらであるか、決めることはできない。どちらに属するとしても、矛盾はない。

2)集合Bについて。
仮に、集合Bが集合Bに属するとしよう。すると、集合Bは「自分自身を要素とする集合」になる。よって、集合Bは集合Aに属する集合となる。これは矛盾
反対に、集合Bが集合Aに属するとしよう。すると、集合Bは「自分自身を要素としない集合」になる。よって、集合Bは集合Bに属する集合となり矛盾する。

結局、集合Bは集合Aに属するとしても、集合Bに属するとしても、矛盾を来たす。
すべての集合集合AかBのどちらかに属するはずなのに、集合Bはそのどちらにも属さない。

数学への影響

数学史において、このパラドックスは重要な役割を担った。
一言で言えば、このパラドックスによって、数学の基礎が粉砕される事態となった。

ラッセルがこのパラドックスを発見した1900年頃とは、ヒルベルトが「ヒルベルト・プログラム」を打ち立てるなど、数学の基礎を確立しようという動きが強まっていた時代であった。
そんな中、強な武器として選ばれたのが論理であり、集合である。ド・モルガンやブール、フレーゲ、ペアノといった論理学者たちが、論理学における革新的な研究を行っていた。

論理集合は、切っても切れない関係で、「AならばBである」という論理は、「集合Aは集合Bの部分集合である(A⊆B)」という集合の言葉に書き換えられる。属すという言い方をするなら、Aの任意の要素aがBに属す(a∈B for a∈A)といえる。たとえば、「エビフライ揚げ物である」という論理は、エビフライ集合揚げ物集合の部分集合であるし、任意のエビフライ揚げ物(の集合)に属すともいえる。(任意なので、たとえばあなたが最近食べたエビフライでもいい)

さて、フリードリヒルートヴィヒ・ゴットロープ・フレーゲは1893年に、野心的な著書『算術の基本法則』を出版した。彼は算術(自然数法則)のあらゆる定理が、論理のみから導けると考えていた。もしそのことが明できれば、数学に強固な基礎を確立することができる。
そのためにフレーゲはまず、論理のみを使って自然数を定義した。彼が使ったのは、「外延」という考え方だ。例えば自然数5を定義するには、対の個数が5であるすべての概念をかき集めれば良い。その概念の集合が「数5」の定義となるとした。あなたの知っている5人組のグループや5つで1セットのものがいくつかあるかもしれないが、それらをかき集めるということ。

フレーゲはこのように、集合を使って算術の定理明しようと試みた。彼にとって、集合こそが算術の根幹を成していた(何しろ、集合によって自然数を定義したのだから)。
さらにフレーゲは、論理集合の基本となる公理を用意した。その公理(正しい)とし、そこから明を始めるのだ。
ところがラッセルは、ここに矛盾を発見した。フレーゲの用意した公理から、上述したパラドックスが導けることを示してしまったのだ。
1902年6月16日ラッセルはこのことを手紙にしたため、フレーゲに送った。奇しくもそのときは、フレーゲが『算術の基本法則』第2巻を出版しようとしていたときであり、フレーゲは大きなショックを受けたという。

だが数学史において、パラドックスの発見は決して悲観すべき出来事ではない。むしろ、数学を次のステージへと進める足がかりになる。このパラドックスは、「集合とは何か?」という、それまでほとんど問われなかった問いを発したのだ。

パラドックスの解決

このパラドックスを解決したのは、ほかならぬラッセル自身である。ラッセルは、フレーゲの「算術のあらゆる定理論理のみから導く」という発想そのものは正しいと思っていた。そこでラッセルは、ある方法でパラドックスを解決した。

簡単に言えば、「集合Bは、実は集合ではない」というのが解決策である。集合ならば必ずAかBのいずれかに属するが、Bは集合ではないのだから、どちらにも属さなくても矛盾しないのである。ついでに言えば、Aもまた、集合ではない。

ラッセルの考えは「理論」と呼ばれる。理論では、集合はその要素よりワンランク上のに属すると考える。
例えばA中学校のBクラブの生徒Cさんについては、「Cさん」は0で、「Bクラブ」は1、「A中学校の部活動全体の集合」は2、そしてA中学校のすべての部活動が属する「あらゆる部活動の集合」は3、などとなる。

ラッセルは、集合を自分自身が要素となる概念を使って定義してはならない、とした。例えば、「富士山」という要素は「山の集合」に属するが、この「山の集合」の定義に「富士山」を用いてはならない、という意味だ。
「自分自身を要素としない集合集合」は、その定義の中に「(同じの)集合」を用いてしまっている。これが、パラドックスを引き起こしていたのだ。

現在では「ZFC公理系」という、集合を厳密に定義するための公理系が存在する。この公理系から、集合AやBのようなものは「集合ではない」と結論することができる。

最初の話では

記事Bは「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」とした。だが、自分自身へのリンクがない記事に、「記事」と呼べるようなものは存在するだろうか?
例として挙げたように、記事Bに属する記事は、立て逃げされた記事や、リダイレクト用の記事だけである。立て逃げされた記事だって、最初に「○○とは××である」くらい書いてあるものだ。それすらない記事を、「記事」として認めることはできないだろう。
記事Bも、自分自身へのリンクがないということは、冒頭に「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧とは、記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧である」といった説明が書かれていないことを意味する。しかしこのような「記事もどき」を、「記事」と呼ぶことはできない。一方で、記事Bの冒頭にこの一文を追加し、きちんと「記事」としての体裁を整えてやれば、パラドックスは生じない。こう書けば、記事Bは記事Aに載せられるからである。

記事とは呼べないものを「記事」と呼んでしまったので生じたパラドックスであった。

余談

全くの余談であるが、本記事は「記事の中に自分自身へのリンクがない記事」である。果たして本記事は、記事として認められるだろうか。あなたの判断に委ねよう。

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ラッセルのパラドックス

40 ななしのよっしん
2017/03/05(日) 20:25:24 ID: 7kayLWAXXV
なかなか秀逸な記事
41 ななしのよっしん
2017/03/12(日) 17:12:40 ID: ko9NCiWu9k
つまり、「ありえないなんてことは、ありえない」もこのパラドックスになってる?

あり得る事の集合に「あり得る事」を入れても矛盾にはならないが、
あり得ない事の集合に「あり得ない事」を入れようとすると矛盾が生じる。
また、あり得る事の集合に「あり得ない事」を入れようとすると
あり得ない事なのにあり得ることになってしまうので、これも矛盾

よく分からんがこういう事であってる?
42 ななしのよっしん
2017/06/22(木) 21:49:12 ID: m2cQrtRyKe
>>41
それは自己言及のパラドックスと言うことのほうが多いけど、ラッセルのと同値でもある

『「この文は偽である」という構造の文』について、偽に焦点を当てたものが自己言及のパラドックス、『文』の定義(構造)が曖昧であるという所に焦点を当てたのがラッセルのパラドックス

片方はゲーデルの不完全性定理で、もう片方は公理集合論の整備(ZFC公理系)で解決されている
まあ、同じパラドックスだし解決方法も同じといえば同じなんだけどもね
43 ななしのよっしん
2017/08/30(水) 23:24:16 ID: Xn56vuW99j
パラドックス自体には関係ない話だけども、
この記事中では『記事Bに属する記事は、立て逃げされた記事や、リダイレクト用の記事だけである。』
とあるが、実はこの「ラッセルのパラドックス」の記事自体が記事Bに属することに気づいて笑ってしまった
(概要の書き出し部分が(Russell)で区切られているせい)
44 ななしのよっしん
2017/08/30(水) 23:38:15 ID: Xn56vuW99j
ってよく読んだら余談のところに書いてあったのね
(Russell)で区切ったのはわざとか
45 ななしのよっしん
2018/02/14(水) 11:28:44 ID: WEJVfU16pr
「記事の中に自分自身へのリンクがない記事の一覧」が自ら例外をつくってるからねぇ
たとえば「自分自身へのリンクがあるが飛べない記事」(オフラインバグってる記事)も許してしまうことになるので
すべてをリンクする場合もう一つ
「自分自身へのリンクができない記事の一覧」という例外(もどき記事)用の記事が必要になってくる。
46 ななしのよっしん
2018/08/08(水) 04:01:05 ID: MBppHYvloP
一覧の一覧集合ではない?
47 ななしのよっしん
2018/11/28(水) 21:29:47 ID: 4qbdCgl6sr
涼宮ハルヒシリーズの『七不思議オーバータイム』にて古泉一樹から「ラッセルのパラドックス」への言及あり
48 ななしのよっしん
2019/05/30(木) 21:08:27 ID: rc2qStpqBx
自動リンク仕様変更でこの記事の内容が根本的に破綻してしまった。
49 ななしのよっしん
2019/06/22(土) 04:39:46 ID: vOW37d+eAe
もしかしてロトムずかん

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2019/08/22(木)18時更新