利回り単語

リマワリ
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利回りとは、次の4つに分けることができる。

  1. 債券投資で使われる用
  2. 投資信託で使われる用で、投資信託利回りともいう。
  3. 株式投資で使われる用で、株式利回りとか配当利回りともいう。株式1の1年あたりの予想配当額を株式時価で割って算出した数値である。
  4. 不動産投資で使われる用で、不動産利回りともいう。表面利回りと実質利回りがあり、表面利回りは年間賃料収入を物件購入額で割って算出した数値で、実質利回りは「年間賃料収入から年間経費を引いた数値」を物件購入額で割って算出した数値である。

本記事では1.について記述する。
 

概要

債券の基礎知識

政府企業が資調達のため「お金を支払う事を約束する負債明書」を発行して市場に売却することがある。この負債明書を債券という。

債券は利付債と割引債に大別され、利付債の代表は固定利付債である。

債券には「発行した者がこれだけの額を支払います」という意味の額が書いてある。これを額面という。

投資する者が債券を購入するときは額面額とは異なる額で購入することが多い。この額を購入という。

債券には発行した者が支払う時期が書いてある。これを償還日とか償還期日という。

利付債の所有者に対して発行者は定期的利子を支払う。その利子は額面額に表面利率を掛けて計算される。
  

利回りの定義

利回りというのは表面利率とは異なる概念である。

単利利回りとは、投資するお金が1年あたりでどれだけの収益を生むかを分率で表示したもので、定期的に支払われる利子を再投資しないことを前提としたものである。

複利利回りとは、「お金を利率r複利運用したときのn年後の額」と、「お金でn年物固定利付債を購入して定期的に支払われる利子を利率r複利運用しつつn年後に額面額の償還を受けた場合の累計受領額」が等しくなるとき、債券額面額と債券購入額からただ一つに決まるrの値をす言葉である。
   

購入金額=額面金額とか購入金額=売却金額の場合なら利回りと表面利率が一致するが、現実はそうならないことが多い

償還期日まで債券を保有し続ける投資が、債券を購入するときに額面額と等しい額で購入していれば、単利利回りでも複利利回りでも、利回りと表面利率が全く同じになる。

償還期日の前に債券を売却する投資が、購入額と等しい額で売却していれば、単利利回りでも複利利回りでも、利回りと表面利率が全く同じになる。

しかし、以上の例は少ない。

償還期日まで債券を保有し続ける投資のほとんどは、債券を購入するときに額面額と異なる額で購入していて、額面額と購入額の差額を収益にしている。

償還期日の前に債券を売却する投資のほとんどは、購入額と異なる額で売却していて、購入額と売却額の差額を収益にしている。

このため、ほとんどの場合で、単利利回りと表面利率が一致しないし、複利利回りと表面利率も一致しない。

表面利率だけで「1年分の収益」を把握することができない。逆に言うと、債券投資における「1年分の収益」を把握するために作り出された概念単利利回りである、ということができる。
 

利回りを期間によって分類

債券における利回りは、債券を所有する期間によって3種類に分けられる。

応募者利回りは、新規発行債券(新発債)が発行された時に購入し、その債券を償還期日まで持ち続けたときの利回りである。

最終利回りは、既存発行債券(既発債)がかの手によって市場に売却されたときに購入し、その債券を償還期日まで持ち続けたときの利回りである。

所有期間利回りは、流通利回りともいうもので、新規発行債券(新発債)が発行された時に購入したり、既存発行債券(既発債)がかの手によって市場に売却されたときに購入したりするが、その債券を償還期日より前の日に売却したときの利回りである。

三者を図で示すと次のようになる。

発行日 途中の日A 途中の日B 償還日
応募者利回り 購入 受け取り
最終利回り 購入 受け取り
所有期間利回り その1 購入 売却
所有期間利回り その2 購入 売却

 

単利利回りと複利利回り

利回りの計算方法には2種類があり、単利で計算する単利利回りと、複利で計算する複利利回りがある。

単利利回りと複利利回りの違いは、本記事の項を参照のこと。

日本で利付債を扱う債券市場では単利利回りを採用している。これは世界的に見てもしいことである。

日本割引債を扱う債券市場では複利利回りを採用している。

では複利利回りを使うことが流で、利付債を扱う債券市場でも割引債を扱う債券市場でも複利利回りを採用している[1]
 

債券の価格が下がると利回りが上がり、債券価格が上がると利回りが下がる

単利利回りでも複利利回りでも、債券の価格が下がると利回りが上がり、債券価格が上がると利回りが下がるという傾向がある。

新聞経済欄では「国債が買われて国債価格が上昇(利回りは下落)」などと括弧で補足説明することが多い。

以下のことを頭に入れておくと、国債についてのニュース読みやすくなる。

国債が買われて買い手優勢になる=国債価格が上昇=国債利回りが下落

国債が売られて売り手優勢になる=国債価格が下落=国債利回りが上昇

 

単利利回り

単利利回りの定義

単利利回りとは、投資するお金が1年あたりでどれだけの収益を生むかを分率で表示したもので、定期的に支払われる利子を再投資しないことを前提としたものである。
 

単利利回りの計算式

単利利回りの計算式の基本形は次のようになっている。

単利利回り()=100×{収益の1年分÷購入額}

 
「収益の1年分」は、表面利率で得られる利子収入(インカムゲイン)1年分債券の売買の差額または債券の償還額と購入額の差額で得られる収入(キャピタルゲイン)1年分の合計額である。

ゆえに次のように書き直すことができる。

単利利回り()=100×{(表面利率で得られる利子収入1年分債券の売買の差額または債券の償還額と購入額の差額で得られる収入(キャピタルゲイン)1年分÷投資額}


単利利回りの数式は次のようになる。

単利利回り()=100×{額面額×0.01×表面利率(額面額または売却額-購入額)÷購入日から償還期日または売却日までの年数÷購入

 

※この項の資料・・・資料1exit資料2exit資料3exit
  

額面金額100円と固定した場合の単利利回り計算式

ネット上には、次のような利回り計算式が紹介されている(記事1exit記事2exit)。

利回り()=100×{表面利率(額面額または売却額-購入額)÷購入日から償還期日または売却日までの年数÷購入額 


この利回り計算式が成立するのは、額面額または売却額を100にして購入額を「額面額または売却額を100としたときの修正値」にした時だけである[2]

額面額が2000で、購入額が1800だとする。この場合、利回り計算式Aにそのまま数値を代入してはならない。額面額と購入額をそれぞれ200で割って、「額面額は2000÷20=100、購入額は1800÷200=90」と計算して、額面額に100、購入額に90を入れなければならない。

日本の債券市場では「額面額を100円と表現し、それに対して購入額を●円とする」といったように額面額を100円と固定して考える慣習がある。そうすれば「購入額は額面額の●である」といった具合に分率で把握しやすい。そうした慣習から生まれた公式である。
 

購入金額が分かっているとき、単利利回りを計算する その1 固定利付債・割引債共通

エクセルオープンオフィスといった表計算ソフトを使っている人が、B1のセルに購入額、B2のセルに額面額または売却額、B3のセルに表面利率([3]、B4のセルに購入日から償還期日または売却日までの残存年数を入れた場合、単利利回り()の数式=(B2*0.01*B3+(B2-B1)/B4)*100/B1となり、単利の合計収益は=B2+B2*0.01*B3*B4-B1となる。

B1のセル数字を減らしていくと、単利利回りがどんどん上昇していく。表面利率による利子収入が一定であるが、額面額と購入額の差額が広がってその分の収益が増えていくからである。「債券価格が下落して購入額が減ると債券利回りが上昇する」ということを実感できる。

さらに、B5セルに期待インフレ率()を入する。

「期待インフレ率から考えられる最低限の単利合計収益」は=B1*(1+B5*0.01)^B4-B1で計算できる。この数字を上回る合計収益を出せないとインフレで損失を被ってしまう。

「期待インフレ率から考えられる最低限の購入額」は=(B2+B2*0.01*B3*B4)/((1+B5*0.01)^B4)で計算できる[4]。この数字を下回る額で購入しないとインフレで損失を被ってしまう。

「期待インフレ率から考えられる最低限の単利利回り」は=100*((B2*0.01*B3+(B2-((B2+B2*0.01*B3*B4)/((1+B5*0.01)^B4)))/B4)/((B2+B2*0.01*B3*B4)/((1+B5*0.01)^B4)))で計算できる[5]。この数字を上回る利回りが出ないとインフレで損失を被ってしまう。

また、keisan.casio.jpexitでは単利利回りを計算するサービス提供している。
 

購入金額が分かっているとき、単利利回りを計算する その2 固定利付債のみ

表計算ソフトにはYIELDMAT関数(イールドマット関数)があり、それを使って固定利付債単利利回りを計算できる。

B1のセルに購入額、B2のセルに額面額または売却額、B3のセルに表面利率()、B4のセルに購入日から償還期日または売却日までの残存年数を入れた場合、単利利回り()の数式は、エクセルなら=YIELDMAT(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B4,1,1) ,DATE(2001,1,1), 0.01*B3, B1*(100/B2),0)*100オープンオフィスなら=YIELDMAT(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B4;1;1) ;DATE(2001;1;1); 0.01*B3; B1*(100/B2);0)*100になる。
 

購入金額が分かっているとき、単利利回りを計算する その3 割引債のみ

表計算ソフトにはINTRATE関数イントレート関数)やYIELDDISC関数(イールドディスク関数)があり、それらを使って割引債単利利回りを計算できる。

B1のセルに購入額を入し、B2のセルに額面額または売却額を入し、B3のセルに購入日から償還期日または売却日までの残存年数を入した場合、割引債単利利回り()の数式は、エクセルなら=INTRATE(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B3,1,1) ,B1*(100/B2),100,0)*100という数式=YIELDDISC(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B3,1,1) ,B1*(100/B2),100,0)*100という数式になり、オープンオフィスなら=INTRATE(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B3;1;1) ;B1*(100/B2);100;0)*100という数式=YIELDDISC(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B3;1;1) ;B1*(100/B2);100;0)*100という数式になる。
 

単利利回りが分かっているとき、購入金額を計算する 固定利付債・割引債共通

エクセルオープンオフィスといった表計算ソフトを使っている人が、B1のセルに額面額または売却額、B2のセルに表面利率([6]、B3のセルに購入日から償還期日または売却日までの残存年数、B4のセル単利利回り()を入れた場合、購入額の数式=(B1*0.01*B2*B3+B1)/(1+0.01*B4*B3)となる。

PRICEMAT関数プライスマット関数)を使ってもよい。B1のセルに額面額または売却額、B2のセルに表面利率([7]、B3のセルに購入日から償還期日または売却日までの残存年数)、B4のセル単利利回り()を入れた場合、エクセルなら=PRICEMAT(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B3,1,1), DATE(2001,1,1),B2*0.01 ,B4*0.01, 0)*(B1/100)という数式になり、オープンオフィスなら=PRICEMAT(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B3;1;1); DATE(2001;1;1);B2*0.01 ;B4*0.01; 0)*(B1/100)という数式になる。
  

固定利付債における複利利回り

固定利付債における複利利回りの定義

固定利付債における複利利回りとは、「お金を利率r複利運用したときのn年後の額」と、「お金でn年物固定利付債を購入して定期的に支払われる利子を利率r複利運用しつつn年後に額面額の償還を受けた場合の累計受領額」が等しくなるとき、債券額面額と債券購入額からただ一つに決まるrの値をす言葉である。
 

固定利付債を複利で運用する例

購入額96円で額面100円で表面利率1で利払い年1回で残存年数3年の債券がある。単利利回りは2.43だが、複利利回りは2.39になる。

購入してから1年後に1円利子が発生するので、その1円を利回り2.39の1年物債券に再投資する。

購入してから2年後に1円利子が発生するので、その1円を利回り2.39の1年物債券に再投資する。それと同時に「購入してから1年後に発生した1円で購入した1年物債券」が満期を迎えて1.0239円になるので、その償還を利回り2.39の1年物債券に再投資する。

購入してから3年後に1円利子が発生し、「購入してから2年後に発生した1円で購入した1年物債券」が満期を迎えて1.0239円になり、「購入してから2年後に発生した1.0239円で購入した1年物債券」が満期を迎えて1.0483円になる。この時点で債券投資が終わるので、一番最初に購入した額面100円債券の償還を受け取る。

以上のことを図で示すと次のようになる。
 

購入日 1年後 2年後 3年後の償還日
元本 100円を受け取る
購入してから1年後に発生する利子 1円を受け取る 1.0239円を受け取る 1.0483円を受け取る
購入してから2年後に発生する利子 1円を受け取る 1.0239円を受け取る
購入してから3年後に発生する利子 1円を受け取る

 

複利利回りが分かっているとき、購入金額を計算する

購入額96円で額面100円で表面利率1で利払い年1回で残存年数が3年の債券の複利利回りがrであるとする。その場合、次の数式を書くことができる。

購入額96円を利回りrで3年間複利で投資した後の額=購入して1年に受け取った利子1円複利rで2年運用した後の額+購入して2年に受け取った利子1円複利rで1年運用した後の額+購入して3年に受け取った利子1円+額面額の100円

 
購入額k円で額面額g円で表面利率hで利払い年1回で残存年数n年の債券の複利利回りがrであるとする。その場合1年で支払われる利子はg×(1+0.01×h)で計算できるが、そのまま書くと煩雑なのでCと書くことにする。その場合、次の数式を書くことができる。

k×(1+0.01×r)n=C×(1+0.01×r)n-1+C×(1+0.01×r)n-2+C×(1+0.01×r)n-3+...+C×(1+0.01×r)3+C×(1+0.01×r)2+C×(1+0.01×r)+C+g

 
以上の数式をもう少し見やすくするため、(1+0.01×r)をRと書くことにする。その場合、次の数式を書くことができる。

k×Rn=C×Rn-1+C×Rn-2+C×Rn-3+...+C×R3+C×R2+C×R+C+g

 
右辺をCでまとめてみる。

k×Rn=C(Rn-1+Rn-2+Rn-3+...+R3+R2+R+1)+g

 
(Rn-1+Rn-2+Rn-3+...+R3+R2+R+1)というのは高校数学で習う等数列である。等数列の和の公式というものがあり、初項1でRの等数列の場合、初項から第n項までの和は(1-Rn)÷(1-R)になる(資料exit)。ゆえに次の数式になる。

k×Rn=C{(1-Rn)÷(1-R)}+g

  
購入額kをめる数式は、次のようになる。

k=《C{(1-Rn)÷(1-R)}+g》÷Rn

 
※ここまでの資料・・・記事1exit記事2exit


エクセルオープンオフィスといった表計算ソフトを使う人が、B1のセルに額面額を入し、B2のセルに表面利率()を入し、B3のセルに残存年数を入し、B4のセル複利利回り()を入する場合、年1回の利払いの債券の購入額は=(B1*0.01*B2*((1-(1+0.01*B4)^B3)/(1-(1+0.01*B4)))+B1)/((1+0.01*B4)^B3)という数式になる。

PRICE関数プライス関数)を使ってもよい。B1のセルに額面額を入し、B2のセルに表面利率()を入し、B3のセルに残存年数を入し、B4のセル複利利回り()を入する場合、年1回の利払いの債券の購入額はエクセルなら=PRICE(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B3,1,1), B2*0.01 ,B4*0.01,100, 1, 0)*(B1/100)という数式になり、オープンオフィスなら=PRICE(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B3;1;1); B2*0.01 ;B4*0.01;100; 1; 0)*(B1/100)という数式になる。
 

購入金額が分かっているとき、複利利回りを計算する

固定利付債複利利回りを計算するような数式を作りあげることは難しい。そのため表計算ソフトのYIELD関数(イールド関数)を使うことになる。

B1のセルに購入額を入し、B2のセルに額面額を入し、B3のセルに表面利率()を入し、B4のセルに残存年数を入し、B5セルに年間利払い回数を1か2か4の中から選んで入する場合、固定利付債複利利回り()はエクセルなら=YIELD(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B4,1,1), B3*0.01 ,B1*(100/B2), 100, B5, 0)*100という数式になり、オープンオフィスなら=YIELD(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B4;1;1); B3*0.01 ;B1*(100/B2); 100; B5; 0)*100という数式になる。
 

割引債における複利利回り

割引債複利利回りは、固定利付債複利利回りとほとんど同じである。
 

割引債における複利利回りの定義

割引債における複利利回りとは、「お金を利率r複利運用したときのn年後の額」と、「お金でn年物割引債を購入してn年後に額面額の償還を受けた場合の受領額」が等しくなるとき、債券額面額と債券購入額からただ一つに決まるrの値をす言葉である。
  

複利利回りが分かっているとき、購入金額を計算する

購入額96円で額面100円で残存年数が3年の割引債複利利回りがrであるとする。その場合、次の数式を書くことができる。

購入額96円を利回りrで3年間複利で投資した後の額=額面額の100円

 
購入額k円で額面額g円で残存年数n年の割引債複利利回りがrであるとする。その場合、次の数式を書くことができる。

k×(1+0.01×r)n=g

 
購入額kをめる数式は、次のようになる。

k=g÷{(1+0.01×r)n

 

※ここまでの資料・・・記事1exit記事2exit


エクセルオープンオフィスといった表計算ソフトを使う人が、B1のセルに額面額を入し、B2のセルに残存年数を入し、B3のセル複利利回り()を入する場合、割引債の購入額は=(B1/((1+0.01*B3)^B2))という数式になる。

PRICE関数プライス関数)を使ってもよい。B1のセルに額面額を入し、B2のセルに残存年数を入し、B3のセル複利利回り()を入する場合、割引債の購入額はエクセルなら=PRICE(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B2,1,1), 0 ,B3*0.01,100, 1, 0)*(B1/100)という数式になり、オープンオフィスなら=PRICE(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B2;1;1); 0 ;B3*0.01;100; 1; 0)*(B1/100)という数式になる。
 

購入金額が分かっているとき、複利利回りを計算する

割引債複利利回りを計算するような数式を作りあげることは簡単である。

購入額k円で額面額g円で残存年数n年の割引債複利利回りがrであるとする。その場合、次の数式を書くことができる。

k×(1+0.01×r)n=g

 
数式を変形させていき、複利利回りrをめる数式が導かれる。

(1+0.01×r)n=g÷k

1+0.01×r=「(g÷k)のn乗根」

0.01×r=「(g÷k)のn乗根」-1

r={「(g÷k)のn乗根」-1}×100

 
エクセルオープンオフィスといった表計算ソフトを使う人が、B1のセルに購入額を入し、B2のセルに額面額を入し、B3のセルに残存年数を入する場合、割引債複利利回り()は=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100という数式になる。


YIELD関数(イールド関数)を使ってもよい。B1のセルに購入額を入し、B2のセルに額面額を入し、B3のセルに残存年数を入する場合、割引債複利利回り()はエクセルなら=YIELD(DATE(2001,1,1), DATE(2001+B3,1,1) ,0,B1*(100/B2),100,1,1)*100という数式になり、オープンオフィスなら=YIELD(DATE(2001;1;1); DATE(2001+B3;1;1) ;0;B1*(100/B2);100;1;1)*100という数式になる。
 

関連項目

脚注

  1. *三井住友DSアセットマネジメントの記事exit
  2. *これらの記事でそのように明言している(記事1exit記事2exit記事3exit記事4exit
  3. *割引債の場合は、表面利率が0だからB3のセルに0を入れる。
  4. *「期待インフレ率から考えられる最低限の購入額」が期待インフレ率だけ増殖していく数字=償還や利子で発生するお金 と考えて、「期待インフレ率から考えられる最低限の購入額」×((1+B5*0.01)^B4)=(B2+B2*0.01*B3*B4) という数式を作り、この数式を変形させた。
  5. *利回りの計算式は100×{「1年分の利子」+「額面額-購入額」÷残存年数}÷購入額 である。「1年分の利子」にはB2*0.01*B3を入れ、購入額には先ほどの「期待インフレ率から考えられる最低限の購入額」を入れるのだから(B2+B2*0.01*B3*B4)/((1+B5*0.01)^B4)を入れる。その調子数式を作る。
  6. *割引債の場合は、表面利率が0だからB3のセルに0を入れる。
  7. *割引債の場合は、表面利率が0だからB3のセルに0を入れる。

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