四元数単語

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四元数(しげんすう、quaternion(クォターニオン))とは,アイルランド数学ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創った代数系である.

概要

 複素数面上の点の変換を上手く記述しているように,四元数は間内の点の変換を記述出来る代数系である.ハミルトンの発見当時はその奇妙さからほとんど使われなかったが,ベクトル解析やクリフォード代数などの重要な数学分野のさきがけとなった.
 今日ではコンピューターグラフィックスやロボット制御などの応用分野で広く使われている.

→ 四元数の歴史について詳しくはウィリアム・ローワン・ハミルトンページを参照.

定義

 一般の四元数q は次のように定義される.

q = a + bi + cj + dk .

ここでa, b, c, d はスカラー(実数)であり,i, j, k は次のような性質を満たす元である.

i2 = j2k2ijk = -1.

これらの公理から,任意の四元数の組に対して結合則および分配則を満たすような積を定義できる.

四元数q =  a + bi + cj + dk のうち,aの部分をスカラー部,bi + cj + dk の部分をベクトル部と呼ぶ.
スカラー部が0でベクトル部のみからなる四元数を,ベクトル元,あるいは複素数になぞらえて純虚四元数と呼ぶ. 

四元数のノルム(絶対値)|q| は次のように定義される.

q =  a + bi + cj + dk に対して, |q|2 = a2 + b2 + c2 + d2

やってみよう

 上記の定義から実際に四元数どうしの掛け算を考えてみる.
一例として,

ij = (-1)(ij)(-1)
   = (-1)(ij)(k2)
   = (-1)(ijk)k
   = (-1)2k
   = k

 また,

ji = (-1)(ji)(-1)
   = (-1)(ji)( ijk )
   = (-1) j (i2)(jk)
   = (-1)2(j2)k
   = (-1)3k
   = -k

他の積も同様に得ることが出来る. 

ijkjk =  iki =  j
ji = -kkj = -iik = -j . 

ここで注すべきは,ij と ji が等しくない = 掛ける方向によって結果が変わってしまう点である(積の非可換性).
四元数のこのような性質は実数複素数には見られないもので,数学史上初めての発見とされる.

次のような掛け算を考えてみる.

(ji)(ij) = (-k)k
          = -k2
          = 1.

この結果から ji は ij の逆数(逆元)になっていることが解る.逆数が存在すれば割り算定義出来る.実際,0でない任意の四元数は逆元を持つ.

四元数の極形式

 0でないベクトルbi + cj + dk について,四元数 I を次のように定義する.

I = (bi + cj + dk)/(|bi + cj + dk|).

I を使って表すと四元数q は次のように書ける.

q = a + bi + cj + dk = a + |bi + cj + dkI

A = a, B = |bi + cj + dk| と置けば,

q = A + B I

となる.どこかで見たような形式だが,実際

I2 = -1

となることが確かめられる.すなわち,任意の四元数は複素数として表すことが出来る複素数のなかで二乗してマイナス1になるような元は±i の一組しか存在しなかったが, 四元数においてそのような元 I数に存在することが解る.

複素数として表せるならば当然,極形式でも表せる.

q = A + B I = |q|(cosθI sinθ) = |q|eIθ

I とは何か

 上で登場した四元数 I = (bi + cj + dk)/(|bi + cj + dk|) をどのように考えることが出来るだろうか.
四元数q = a + bi + cj + dk を極形式で表したとき,I 以外のパラメーターは |q| とθで2つある.四元数の全体は4つの次元を持つから,I は2次元自由度を持つ量であることが示唆される.実は四元数の幾何においては,I3次元間のベクトル bi + cj + dk を軸とする回転を表す量(ベクトル,または軸性ベクトル)と考えるのである.
 bi + cj + dk に直交する面に含まれる単位ベクトルから i1i2適当に選ぶとき

I = i1 × i2

が成り立つ(×はクロス積).このとき,積の順序が I の回転の向きを定める.

 一つの I が一つの複素数面 { A + B I } を定めるのだから,四元数の全体は数の複素数面が集まったものと捉えることが出来る.

単位四元数eIθ

 四元数のうちノルムが1に等しいものを単位四元数と呼ぶ.単位四元数q は極形式で

q = cosθI sinθeIθ

と表される.
単位四元数には次のような重要な性質がある.

単位四元数eIθのこのような性質は,eIθ単位球面上の弧として考えると理解しやすい.そのとき,I は弧の通る球面上の円周を,θは弧と球の中心点が作る度を表す.

eIθの逆元は逆向きに同じ度だけ動く弧,e-Iθになる.

(eIθ)-1 = e-Iθ

3次元空間の回転

 任意の3次元間のベクトル u = u1i + u2j + u3k に対して,uを I の周りにθラジアンだけ回転する変換 RIθは次のように表される.

RIθ(u) = eIθ/2ue-Iθ/2

四元数eIθ/2回転子と呼ばれる.

回転子の積は変換の合成を表す.

RI2θ2RI1θ1(u) = (eI2θ2/2eI1θ1/2)u(eI2θ2/2eI1θ1/2)-1

回転子の逆元は逆変換を表す.

RIθ-1(u) = e-Iθ/2ueIθ/2

四元数を使った回転表現は他の表現とべて,

などの利点がある.

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四元数

20 ななしのよっしん
2014/11/27(木) 17:42:04 ID: aibW2STWUu
度々すいません。>>18です。
仮に(2)形式で書こうとすると
  u'=e(^Iθ)u*=ue(^-Iθ)
と書けますね。
21 ななしのよっしん
2014/11/29(土) 03:42:11 ID: pJszMziGAM
>>18
四元数において(1)と(2)が等しくなる、つまり等式
e^(Iθ/2)ue^(-Iθ/2) = e^(Iθ)u
が成り立つ必要十分条件は、ベクトルuが回転軸である I と直交していることです。この条件が満たされない場合(例えば、I = kでuがkのスカラー倍のときなど)、等式は成り立ちません。

一般の3次ベクトルuは I に直交する成分(u⊥)と行な成分(u||)の和として表せますが、u|| に対する回転変換はu||を変化させません。u⊥に対する回転変換は上記の式 e^(Iθ)u⊥ですから、結局
u' = e^(Iθ)u⊥ + u||
が変換の像となります。
u|| はe^(Iθ/2)u||e^(-Iθ/2)と書けるので、
u' = e^(Iθ/2)u⊥e^(-Iθ/2) + e^(Iθ/2)u||e^(-Iθ/2)
  = e^(Iθ/2)ue^(-Iθ/2)
となります。
22 ななしのよっしん
2014/11/30(日) 09:50:51 ID: aibW2STWUu
>>21
垂直成分と平成分の両方考えなければならないのですね。
教授ありがとうございます
23 ななしのよっしん
2015/02/21(土) 21:41:44 ID: pRXcCyO03n
エスコンじみたフライトシューティング作るときにお世話になりました
なんでも防衛省飛翔体シミュレータにも使われているとか
24 ななしのよっしん
2016/01/18(月) 22:15:04 ID: smXNrUzJFJ
単位四元数を掛けることは「四次元の特殊な回転」を計算していることになるっていうのが重要だと思う
三次元の回転が例の式になるのは、2回の異なる回転によって余計な方向(実軸とI)の回転を打ち消すためと説明できる
25 ななしのよっしん
2016/05/01(日) 09:40:12 ID: nJRHN8EcLY
四元数って本当に便利だよな。
まともにやろうとしたら手におえなかった計算があっさりできて驚いた。
理系なら基礎知識として知っておいて良い話じゃないかなと思うが、大学電気系学科)では習わなかったなぁ…。
三次元の回転への応用を見出したのはケイリーだっけ?
どちらも天才だと思う。
ハミルトンが生前の頃には報われなかったのが残念だね。
26 ななしのよっしん
2016/07/14(木) 13:45:30 ID: YdkhQ0BLtv
四元数は複素係数の四次の行列環の部分環として実現出来るので、線形代数を習っていればある意味四元数を習ったも同然と言える(もちろんこれは冗談ですが)
27 ななしのよっしん
2017/11/17(金) 14:34:29 ID: 6Zpb8lTsRU
姿勢制御で使わざるをえなかったが、未だにどういうことなのか理解できてない
28 ななしのよっしん
2018/02/05(月) 07:40:45 ID: aibW2STWUu
>>24
生活で使うことはまずありませんが、八元数や十六元数を使えば三次元以上の回転も扱えますね。じっさい超弦理論では10から11次元の回転を扱っています。

>>25
生前は一定の評価でされており、マクスウェル方程式もマクスウェルの元論文では四元数形式で書かれていました。
ただベクトル形式の方が便利なので現在教科書などで四元数形式を教えられることはまずありませんね。
29 ななしのよっしん
2018/10/04(木) 16:33:49 ID: smXNrUzJFJ
> 単位四元数ベクトル元の積はベクトル元になる.さらに,新しいベクトル元の長さと,もとのベクトル元の長さは等しくなる.

事中のこの文、成り立たなくない?