有理数単語

ユウリスウ
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有理数とは整数たかだか二つの組によって得られる数の体系で、いわゆる分数の全体である。

古代で知られていたのはもちろん自然数ベースのことであって、負の数は含まれていない。現代的観点ではとりたてて分ける必要もないので整数ベースのことをいう。

簡単な概要

2つの整数nとmを考えたとき、1をn倍したあと、mで割ることでめられる数を有理数という。(もちろんこの場合のmは0でない整数とする)

言い替えると、この方法でめることのできない数は有理数ではない。無理数という。

有理的な宇宙

古代人類にとって数とはまず自然数であったわけだが、実世界との対応、分けても長さとの対応を考える上で、ある長さの半分、半分の半分、半分の半分のそのまた半分……といったような限の分割手続きはすぐに見いだされたはずである。いかにもその辺の子供が言いそうだし。

分割はもちろん半分に限った事ではなく、3分の1、4分の1……まあこんなにして抽化が進んだ結果「整数二つの」すなわち有理数の概念へと人類は到達した。しかもこの体系内でいくらでも小さな数を生み出せるわけだから、有理数があれば宇宙の全てを記述できると考えたのも当然である。

よもや直二等辺三角形という単純な図形が調和を破壊しようとはが予想しえたであろう……。

特徴

代数的特徴

剰余の考えに基づく人工的な有限体や、それを含む体を別にすれば、四則演算フリーの最小構造である。どのような体もそのうちには必ず有理数体を含み、また有理数構造を完全に一致させる事なく体同士の対応を作る事も出来ない。四則演算体系の基本的格を与えているのが有理数といえるだろう。

解析的特徴

数直線上で区間をとると、どの位置でどんなに狭い区間をとっても、その区間内に必ず有理数が存在する。専門用を使うと、有理数は実数の中で稠密であると言う。これは無理数でも成り立つことだが、「実数はほとんどすべて無理数である」という事実から、稠密性を有理数の重要な特徴と捉えることができる。

有理数いまむかし

まさかの無理数発見で破綻した有理数の世界であるが、それはあくまで数学概念上の話である。「コンピュータは0と1で動いている」という言葉があるように、世界のほとんどのことは有理数があれば間に合ってしまう。というより「無理数など存在しねぇ!」という過な立場をとる数学者だっているのである(有名なのはクロネカー)。そういう意味では古代人の夢見た有理数的調和の宇宙観は今でも健在なのかも知れない。

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有理数

1 ななしのよっしん
2011/05/07(土) 17:32:45 ID: Ooj/WenHp7
tan 1°は有理数か。(京都大学入試問題)
2 ななしのよっしん
2011/05/13(金) 04:37:14 ID: SN/BJTRBOu
代数的特徴の中の、「どのような体も」ってのは弊があるんでない?
標数が0でないと有理数を含まなくなるわけで。
3 ななしのよっしん
2011/05/16(月) 13:09:23 ID: 0PYMyOMFMH
>>2
それってつまり有限体は別だよ〜ってことでしょ?
有限構造に有理数が入らないのは自明だから、前後の脈絡から「(有限でない)全ての体」というのは読めると思うが
4 ななしのよっしん
2011/05/17(火) 01:32:34 ID: SN/BJTRBOu
揚げ足取りになるかもしれないけど、
限体の標数は必ずしも0じゃないからね。
どんな体にも代数的閉包は存在するし、
代数的閉体は必ず限体だから。
有限でなければ有理数を含むってのは間違い。
まぁ、ここで言う「有限体」が「有限体を含む体」って意味なら
話は別だけど。
5 ななしのよっしん
2011/08/26(金) 22:45:17 ID: lUGfedRLFi
有理数 循環小数
無理数 非循環小数

つーか小数の記事ないのか
6 ななしのよっしん
2013/02/09(土) 02:09:08 ID: SN/BJTRBOu
有理数まむかしのところに書かれてある、
世界のほとんどのことは有理数があれば間に合ってしまう」ってのは
少し違和感
あれは間に合うって言うより、有限小数で扱わざるを得ないんでは。
この世の数値は誤差を含んでるからね。

それとも、この世は素粒子でできてるから、
有理数だけで間に合うって意味なんだろうか。
7 ななしのよっしん
2016/01/31(日) 00:57:46 ID: ewGZi8PydU
>>6
そこは微妙なところだと思うなー
自分としては「自然界に限小は存在しない」という事だと思う。
但し、じゃあ現実世界を理解するための理論無理数実数論)が
不要かと言うと違うのではとも思うんだよね。
8 ななしのよっしん
2017/09/24(日) 08:48:05 ID: +D216cz3ld
要は分数に出来るか出来ないかってことか