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期待効用単語

キタイコウヨウ
今週のおすすめ この記事は第134回のオススメ記事に選ばれました!
よりニコニコできるような記事に編集していきましょう。

ってみなければわからない。
ってみればわかる。

白玉楼 庭師剣術南役

食べれば食べるほど食欲がわくものよ。

白玉楼 亭

期待効用とは、効用の期待値である・・・といっても意味不明だと思うので、以下で(1)期待値、(2)期待効用の順に説明する。

はじめに

自分の行動が吉と出るかと出るかわからない。人生においてそんな状況に直面することは多い。そんな「賭け」「ギャンブル」に出ざるを得ない時、自分の行動がどれくらいの利益・損失をもたらすのかを予想しておく必要がある。運よく確率、結果についてはっきりしている場合[1]、(以下で説明する)期待値、期待効用は行動の針となり得る。

期待値・期待利得

確実・不確実と期待値

まずは、以下の状況を考えてみよう。

  1. リンゴ1個もらえる
  2. 五分五分の確率リンゴ1個もらえる

どっちがうれしいかと問われれば、1がうれしいはずである(リンゴ嫌いの人を除く)。1は確実にもらえるのに対して2は不確実(uncertain)である。

  1. リンゴを1個ももらえない

これは、確実(certain)である。

確実に何ももらえない3は論外だとして、「2より1のほうがまし」だということを数学的に表すには、取得できる確率を掛ければよい。通常確率パーセントで書かれることが多いが、本来は0≦p≦1の値をとる。「確実にもらえる」ということは、確率1を掛ければよく、確実にもらえないということは確率0を掛ければよい。「五分五分」は50。つまり0.5を掛ければよい。

  1. 1×1 = 1
  2. 1×0.5 = 0.5

となり、1のほうが数値が大きくなる。かくして1のほうが2よりも大きいので1が望ましいという結論になる。

このように、「結果として予想される事」に「生起確率」を掛けたものを期待値expected value)と呼ぶ。

うれしくないことにも応用できる。この場合ダメージを負の数として定義すればよい。

  1. 100円取られる
  2. 五分五分の確率100円取られる

このような場合は

  1. -100×1 = -100
  2. -100×0.5 = -50

となり、2のほうが大きい。2のほうがましな状況だと判断できる。経済学や意思決定論などの分野で、不確実下の意思決定を理論化する際には、このような得られるもの(利得)、失うもの(損失)の期待値を計算する。利得、損失の期待値を期待利得(期待損失)とよぶ。数学的には期待利得は期待値と同じものである。

期待値・期待利得の性質

期待値は単位が同じならば足すことができる。

単位が違う場合は併記することになる。

たくさん試行して平均すればだいたいあってる。

賭けやギャンブル一発で利得や損失を考えたとき、その賭けを1回やっただけでは期待値ちょうどになることはほぼない。しかし、何回も繰り返すと、均的には期待値、期待利得に近づいていく(大数の法則)。

  • さいころの期待値は1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 3.5

である。

実際さいころを振ると・・・が1,000回も振るんだよ・・・excelに決まってるだろ。)

試行回数 均値
1 4
10 3.2
20 3.8
50 3.7
100 3.52
200 3.58
500 3.526
1000 3.519

となり、期待値の3.5に近づいていくことがわかる。

もっとも、現実問題としては、試行を繰り返すことは出来ないという問題があるのだが・・・。

例)宝くじの期待値

簡単な練習問題として、宝くじの期待値をめてみよう。

ここでは、いちばん簡単な年末ジャンボ宝くじを例にとる。2009年の年末ジャンボ宝くじ(第573回全自治宝くじ)を7億枚販売した場合、当選は以下のとおりである。1等は2億円が当選70本。前後賞5千万円が当選140本、2等が1億円で140本、等。一番少額の7等は300円で7000万本当選がある。

等級 当選(A) 当選数(B) 当選確率(C) 期待値(D)
1等 ¥200,000,000 70 0.0000001 20
1等の前後賞 ¥50,000,000 140 0.0000002 10
1等の組違い賞 ¥100,000 6,930 0.0000099 0.99
2等 ¥100,000,000 140 0.0000002 20
3等 ¥5,000,000 700 0.000001 5
4等 ¥100,000 42,000 0.00006 6
5等 ¥10,000 700,000 0.001 10
6等 ¥3,000 7,000,000 0.01 30
7等 ¥300 70,000,000 0.1 30
元気に2010年 ¥1,000,000 7,000 0.00001 10



合計(E) 141.99

期待値をめるためには、まず各等級の当選確率(C)をめる。これは当選数(B)70を総数70,000,000で割ってやればよい。1等は7億本のうちの70本が当選なので70÷700,000,000 = 0.0000001つまり、1000万分の1である。

次に、2億円が当選確率1000万分の1で当たる場合の期待値(D)をめる。これは当選(A)に先ほどめた当選確率(C)をかけてやればよい。200,000,000×0.0000001 = 20。よって、宝くじが1等だけだった場合は20円の期待値である。

宝くじは1等から7等まであるので、それぞれの期待値(D)をめ、合計(E)すれば、宝くじ1枚買った時の期待値が得られる。合計した結果は142円弱で ある。宝くじは1枚300円である。期待値の考え方では、「300円払った結果、均すると142円が払い戻される」ということになる。

ギャ ンブル全体に言えることだが、期待値が購入額をえることはない。手数料、運営費などがあるためである。期待値の考えで行けば、ギャンブル均的には 必ず損をするようにできている。計算上は宝くじ1枚を買うたびに158円を失っているといえる。もっとも、残りの158円を「捨てている」と思うか、「そのお金で夢(スリル?)を買っている」と思うかでその評価が変わってくるのだろう。

期待値でいいのか?--サンクトペテルブルクのパラドックス

倍プッシュ

天才ギャンブラー

こんなギャンブルを考えてみよう。

このように、勝ち続ける限り掛けが倍になっていくギャンブル

そこで問題。あなたはこのギャンブルに参加料があった場合、いくら払うか?

まずは期待値を考えてみればよい。

  • 1/2の確率1円もらえる→1×(1/2) = 1/2
  • その1/2の確率((1/2)×(1/2)=1/4)で2円もらえる→2×(1/2)×(1/2) = 1/2
  • さらにその1/2の確率((1/2)×(1/2)×(1/2) = 1/8)で4円もらえる→4×(1/2)×(1/2)×(1/2) = 1/2
  • またさらにその1/2の確率((1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = 1/16)で8円もらえる→8×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = 1/2
  • 以下打ち止めがないので限に続く・・・

すると期待値は1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+・・・ = となり、いくら払っても大丈夫ということになる。たとえば参加費が100億円でも参加するべきということである。これは直感に反するのではないか。

この問題を提示したのがダニエル・ベルヌーイ(1700-1782)である。彼がサンクトペテルブルクに住んでいたため、この問題はサンクトペテルブルクパラドックスSt. Petersburg paradoxと呼ばれる。

期待効用

効用

期待値、期待利得の話から少しはなれて、自分に以下のことを問いかけてみよう。

  • リンゴの話では、1個より10個、10個より100個のほうが良いとしてきた。しかし、たとえばリンゴ1000個もらってうれしいか?

確かに悪い話ではないが、リンゴは腐る。一人暮らしをしていて腐敗させる前に消費するのは困難である。かに売りつければいいのかもしれないが、手間がかかる。リンゴ1000個じゃなくて海老1000匹だったらあちこち海老臭くなって大変である。

たとえばリンゴ10万個もらえるとしたら、倉庫代もかかるし、管理も大変だし、もらわないほうがましだ[2]

このように、取得できる利得と「うれしさ」というのは必ずしも例しない。「過ぎたるはなお及ばざるが如し」である。

効用関数――効用・限界効用

ではどうすればいいか。

利得を「うれしさ」を表現する標を設定すればよい。リンゴ1個もらったときの「うれしさ」を1とする。2個もらったときのうれしさは2ではなく、1.5とか。この「うれしさ」を効用(utility)と呼ぶ。効用は必ずしも利得と例関係にないが、利得が変化すれば効用も変化する。そういった対応関係をあらわすものを関数と呼び、利得を効用に変換する関数効用関数(utility function)と呼ぶ。効用関数は次のような特徴を持っていると思われる。目黒の秋刀魚効果。

  • リンゴ1個もらったらうれしい。
  • リンゴ2個もらったら1個よりはうれしいけど、1個べるとリンゴ1個の価値は小さい。
  • だんだん1個の価値が下がってくる。

このような特徴を持つ関数は右のように図示される。横軸のxが利得、縦軸のu(x)が効用を表している。リンゴ1個をもらったときのうれしさはu(1)、リンゴ2個をもらったときのうれしさはu(2)で表される。

1個のうれしさはu(1)だが2個のうれしさu(2)-u(1)は1個のうれしさより小さい。

このように1個の価値がだんだん小さくなっていくことを限界効用逓減(げんかいこうようていげん:diminishing marginal utility)とよぶ。

さて、もしこれが「リンゴもらう」ではなく「リンゴを食べる」時の効用だったらどうだろう。食べすぎは禁物。リンゴ1個丸ごと食べるのはしんどいので一切れずつで考えてみよう。

  • 一切れを食べたらうれしい。
  • 二切れになるとうれしいけど一切れよりはうれしさは増えない。
  • だんだん食べていくにつれて限界効用が逓減していくのだが、ある点で満になる。これ以上食べるとかえって気持ち悪くなる。

そんな状況を表した効用関数は右図のようになるだろう。

人はZの点で満になる。Aの区間にあるうちは食べていればうれしさは増える。Zを過ぎると、一口食べるごとに気持ち悪くなる。Yを通り過ぎると「最初から食べなきゃ良かった」という状況になる。Z以降は効用が下がっていくという点で効用逓減である。

もっとも、効用関数は人によっても、状況によっても異なる。食べれば食べるほど食欲が増していきます。記事冒頭で紹介した方のような場合は「食べれば食べるほど食欲が増す」のであるから、限界効用は逓増していく。グラフで書くと右のようになるだろう。

効用は他人と較することはできない。

期待効用

さて、元の話に戻ろう。

私たちは「賭け」「ギャンブル」に直面したときの行動針となる標を検討していた。期待値、期待利得はそれなりに有効であるが、運よく何かを得られるとしても、「たくさんもらってうれしいとは限らない」。

そこで「効用」の期待値をめてみよう。効用の期待値のことを期待効用(Expected utility)と呼ぶ。

まず限界効用が逓減していくような効用関数を設定してみる。

利得
(リンゴの個数)
効用
(うれしさ)
1 1
2 1.41
3 1.73
4 2

この状況下で

  1. リンゴ1個を確実にもらえる場合
  2. リンゴ2個を五分五分の確率でもらえる場合

較してみる。

状況 期待値 期待効用
リンゴ1個を確実にもらえる 1 1
リンゴ2個を五分五分の確率でもらえる 2×0.5 = 1 1.4×0.5 = 0.7

期待値では1,2の状況ともに1であり、どちらでも良いということになる。しかし、期待効用では1の状況のほうが高い価を得ることができる。

限界効用が逓減する効用関数を持つ場合、人は不確実なギャンブルより確実なオプションを選ぶ。このような状況をリスク回避(risk-averse)とよぶ。限界効用が逓増する場合はリスク志向(risk-seeking)になる。

サンクトペテルブルクのパラドックス再訪

さて、先に触れたサンクトペテルブルクパラドックスに立ち戻ってみよう。

重要なのは適切な効用関数の設定である。お金はもらえばもらえるほどうれしい。しかし、単位が大きくなるにつれて1円のありがたみは減っていく。つまり限界効用は逓減する。他方お金リンゴを食べるときのように満になるということはおそらくないだろう。だから効用が逓減することはない。

そんな特徴を持つ関数にu(x) = √xがある(前節のリンゴの効用関数もこれを用いている)。

利得 効用 生起確率 期待利得 期待効用
1 1 1/2 1/2 1/2
2 √2 1/4 1/2 √2/4
4 2 1/8 1/2 1/4
8 2√2 1/16 1/2 √2/8
16 4 1/32 1/2 1/8
・・・ ・・・ ・・・ ・・・
合計 1/(2-√2) ≒ 1.71

このような効用関数を持っていれば、期待効用は約1.71。この効用に見合う額は2円ほどである。

かくしてサンクトペテルブルクパラドックス適当な効用関数を導入することで解決することができた。

なお、あなたはこの賭けで胴元になってはいけない。じゃんけんで負け続ければ払戻天文学的な数値となる。

おわりに

本記事では確率に支配された現に対する意思決定を記述する基本的な概念を概観してきた。

期待効用は、期待利得と較してより現実に近い標であるといえる。中級以上のゲーム理論では期待効用を導入することによって選択肢AかBかという問題を「Aをpの確率で、Bを1-pの確率で」というように行動を確率的に記述することが可になる(混合戦略)。

批判を越えて

ただし、期待効用という概念に対する批判も強い。

効用関数の恣意性

たとえば効用関数の恣意性である。利得が具体的な単位で表されるのに対し、効用はあいまいな概念である。効用関数の設定は恣意的になりやすい。サンクトペテルブルクパラドックスで導入したu(x) = √xという関数恣意的である。限界効用が逓減する効用関数としてu(x) = logxを使ってもよい。どちらが「正しい」かは実験を通じて検証する問題であるが、人それぞれ、そして状況によって異なってくるはずである。

効用関数の可測性

実際「効用は数値として計測できるのか」という問いは経済学の抱える難問のひとつである。ノーベル経済学賞を受賞したJ・ヒックスは効用を数値として計測せず経済行動を説明する「無差別曲線」の理論を導入している。差別曲線の導入により、経済学の諸分野では具体的な効用関数依存しなくなっている。

フレーミングの問題

人口が600人の小集落でなぞの病気EFBが猛威を振るっている。医者であるあなたはAかBかの選択肢をとることができる。さてあなたはどちらの選択肢を選ぶだろうか。

選択肢 予想される結果
状況1 A 200人が救われる。
B 1/3の確率600人が救われ、2/3の確率も救われない。
選択肢 予想される結果
状況2 A 400人が死ぬ。
B 1/3の確率も死ぬことはないが、2/3の確率600人が死ぬ。

状況1と状況2は同じである。が書き方が異なる。実験では、状況1ではAが選ばれる傾向が強く、状況2ではBが選ばれることが多い。問題の提示の仕方(フレーミング)によって人間の行動は変化する。期待効用ではこの問題は処理できない。現在では期待効用理論にを補するプロスペクト理論prospect theory)という理論組みが整備されつつある。

現実のあいまい性

より根的な問題として、現実味がないという問題がある。現実では、生起確率や予想される結果が数値として表されることは少ない。確率は「大体」とか「たぶん」といった修飾によって記述される。では「大体」や「たぶん」は確率パーセントを意味するのだろうか。

また、現実の賭けではどんな結果になるのかさえはっきりと予想できないことも多い。「戦争を起こす」というような大規模な決定では勝率予想だけでなく、勝ち方・負け方によって「勝った結果」「負けた結果」も大きく変わってくるはずである。そうした複雑な成り行きについては最初の決定時点で想像することは不可能である。そういった意思決定はあいまい下の意思決定(decision-making under ambiguity)と呼ばれる。現段階でこうした状況を数理的に分析することは難しい。

われわれは現実では適当に意思決定をしているのかもしれない。では「どのように適当に決定しているのか」。現在では心理学実験を基にした人間の意思決定メカニズムの研究が行われている。

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関連項目

脚注

  1. *結論部で述べるとおり、生起確率や結果が数値的に分かっている事例は少ない。
  2. *リンゴ農家の方をdisってっるわけじゃないです。あくまで例として・・・。

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初版作成日: 09/12/14 09:33 ◆ 最終更新日: 11/01/08 11:39
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期待効用について語るスレ

11 : ななしのよっしん :2011/01/10(月) 18:15:09 ID: QXs8pHnqzZ
関連になるかどうか分からないけど
埋没費用」こんな記事もあった
12 : ななしのよっしん :2011/09/29(木) 21:28:47 ID: yonYdihiEr
謎の病気EFBって何かと思ったエターナルフォースブリザードかよww
13 : ななしのよっしん :2011/10/07(金) 23:51:41 ID: 8N6mnRvDUw
たまに考察記事があるから面いよな
14 : ななしのよっしん :2012/11/10(土) 04:29:18 ID: 08r31l0Y7v
サンクトペテルブルクパラドックスのところ、このギャンブルだと
1円になるのは1回勝って2回負けたときだから確率1/4じゃないかと。
15 : ななしのよっしん :2013/02/08(金) 18:31:39 ID: /c5BRFmQSt
栗鼠・・・
16 : ななしのよっしん :2014/05/25(日) 19:30:35 ID: /BUoVaKlFL
凄くわかりやすい記事で助かる

けど、細かいこと言うようだけど、じゃんけんだと勝つ確率は1/2じゃなくて1/3だから、
コイントスとかにした方がいいかも
17 : ななしのよっしん :2016/02/06(土) 13:07:51 ID: 5K1xx0aydU
>>16
普通じゃんけんあいこで止めないだろ
18 : ななしのよっしん :2017/05/03(水) 05:50:54 ID: KRg1gbT1AI
負の効用の例(宝くじの逆)として、生命保険を入れてもいい気がする。
時々ある保険駄論って、だいたい期待値だけみて損得判断してる気がするから。
19 : ななしのよっしん :2017/12/21(木) 02:31:29 ID: mkwOiqp/A8
このような効用関数を持っていれば、期待効用は約1.71。この効用に見合う額は2円ほどである。

効用=√額なら
額=効用^2じゃないの?何で2円になんのかさっぱりわかんね。
20 : ななしのよっしん :2018/07/26(木) 21:07:17 ID: QKLmn5xr7B
>>19
今の記事の書き方だと分かりにくいけれど、1.71くらいというのはこのギャンブルサンクトペテルブルクパラドックスで想定されているもの)でのトータル期待効用方が言っているのは特定の利得xに対する効用が√xということ。

要は、このギャンブルに参加したら、だいたい1.71円分の「うれしさ」が手に入るだろうということ。だから、2円くらいならまだ払ってもいいかな、という結論になるわけです。
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