球面単語

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球面とは、球の表面である。

概要

我々が目にするボールの形を「球(きゅう)」または「球体」と呼ぶが、それは内部まで含めた形である。それに対し、球の内部を含めない表面だけを指して「球面」と呼ぶ。わかりやすく言うと、野球のボールが球体で、バスケットのボールが球面である。より厳密な定義としては、3次元空間内で、1点からの距離が等しい点の集まりとする。

リーマン球面

複素数平面に無限遠点を付け加えた集合をリーマン球面という。なぜ平面と点のことを球面と呼ぶのかというと、構成する点同士の位置関係が球面と同じだからである。

ここでいう無限遠点とは何かを考えるために、まず平面上の原点で接する球面を考えてみよう。その球面で、接点と反対側の点をPとするとき、平面と球面で次のような点の対応を考える。

平面上に点をとる。
その点と点Pを結ぶ直線をとる。
すると、その直線は球面と1点で交差する。

この方法で、平面上の点と球面上の点P以外の点は1対1に対応する。

ここで、平面上の点を原点からどんどん離していくとどうなるだろうか。原点から離れるにつれ、対応する球面上の点は平面から遠ざかっていく。そしてどの方向に離していっても、球面上の点はある1点に近づいていく。それが点Pである。

このように、無限遠点とは平面上にはない1点であり、原点からどの方向に向かっても、最終的にこの1点に集約される。この点は数で言うと、0の逆数に相当する。そのような数は存在しないが、複素数は絶対値を限りなく大きくしていけば、逆数は偏角によらず0に近づく。このことから、0の逆数にあたる点を無限遠点として考えることができる。