背理法単語

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背理法とは、数学における明方法の1つである。帰謬法とも呼ばれる。

概要

ある命題A明したいが直接明するのが難しい時に使われる手法。

手順としては、

  1. まずAの否定が成立すると仮定する。
  2. そこから矛盾を導き出す。
  3. よって、Aの否定は成立しないので、命題Aは成立する。

となる。

つまり、「Aの否定を仮定し、そこから正しい論理のみで式変形などを施すと、ありえない結論に行きついてしまう。これは最初の仮定が間違っていたからに違いない。」という明方法である。

排中律

この明方法の土台となるのは、「命題A命題Aの否定のどちらかが必ず成立する」という排中という法則である。例えば、ある実数については「有理数であるか有理数でないか(無理数であるか)」のどちらかが必ず成立し、また、ある複素数については「実数であるか実数でないか(虚数であるか)」「代数的数であるか代数的数でないか(超越数であるか)」のどちらかが必ず成立することになる。

排中は通常の論理学(古典論理学)では正しいが、直観主義論理など論理体系によっては排中無条件では認められず、命題毎に「命題命題の否定のどちらかが必ず成立する」ことの明が必要になる場合もある。

主だった用途

この明方法がよく使われるパターンとして、「ある数が無理数超越数であることの明」「ある条件を満たす数が数に存在することの明・存在しないことの明」などが挙げられる。これは、それらの否定である「有理数である」「代数的数である」「有限個しかない」「存在する」などが数式で表しやすいのに対し、「無理数である」「超越数である」「限個存在する」「存在しない」ことを数式で表すのが困難であるからである。

証明における使用例

√2が無理数であることの証明

おそらく、一番有名な背理法による明である。

  1. 2無理数であることの明のため、仮に命題が成り立たないとし、「2有理数である」と仮定する。
  2. 有理数は必ず既約分数(これ以上約分できない分数)で表されるので、互いに素な正の整数abを用いて、2=b/aと表せると仮定する。(2は正の数なので、あらかじめa,bは正の整数としてよい。)
  3. 2=b/aの両辺を2乗して2=b2/a2、両辺にa2を掛けて2a2=b2とする。
  4. ここで、b2は「2×整数」で表されているので偶数となるので、b偶数となる。(対偶の「b奇数ならばb2奇数」が成立するので、「b2偶数ならばb偶数」も成立する。)
  5. b偶数となるので、ある正の整数cを用いてb=2cと表すことができる。2a2=b2に代入して2a2=4c2、つまり2c2=a2となる。
  6. ここでbと同様の議論によりa偶数となり、ab偶数であることが示された。
  7. しかし、ab偶数であることは、「abが互いに素」という仮定に反する。
  8. この矛盾は、そもそも「2=b/aと表すことができる有理数」と仮定したことで起きるので、「2は有理数」という仮定は間違っている。よって2は無理数である。

√2が無理数であることの証明:別証

素因数分解の一意性(任意の正の整数はただ1通りの素数の積に表すことができる)を利用する。

  1. 互いに素な正の整数a,bを用いて、2=b/aと表せると仮定し、2a2=b2を導くところまでは同じ。
  2. a素因数分解した際に2m回掛けられているとし、b素因数分解した際に2n回掛けられているとする。
  3. 2a2=b2の左辺の2a2には2の因数が2m+1個含まれ、右辺のb2には2の因数が2n個含まれていることになる。
  4. 2m+1明らか奇数2n明らか偶数なので、2a2=b2の両辺の2の因数の個数が異なることになるが、これは素因数分解の一意性に反する。
  5. よって「2=b/aと表すことができる有理数」という仮定が間違っていることになり、2は無理数となる。

log102が無理数であることの証明

  1. 互いに素な正の整数a,bを用いて、log102=b/aと表せると仮定する。(log102は正の数なので、あらかじめa,bは正の整数としてよい。)
  2. 対数定義より10b/a=2となり、両辺をa乗して10b=2a、すなわち2b5b=2aとなる。
  3. 2b5b=2aの左辺に5の因数はb個含まれるが、右辺には5の因数は含まれず、素因数分解の一意性に反する。
  4. よって「log102=b/aと表すことができる有理数」という仮定が間違っていることになり、log102は無理数となる。

素数が無限に存在することの証明

  1. 素数が有限個と仮定し、最大の素数Mと仮定する。
  2. 全ての素数の積1を加えた数P=2×3×5×7×…×M+1を考える。
  3. このとき、P素数ならば、明らかP>Mなので、「Mが最大の素数」という仮定に反する。また、P合成数ならば、P明らかM以下の素数を因数に持たない(式の形より、M以下のどの素数で割っても1余る)ので、PMより大きい素数を因数に持つことになるが、これも「Mが最大の素数」という仮定に反する。
  4. いずれの場合も「Mが最大の素数」という仮定が成立しないので、この仮定が間違っていることになり、最大の素数は存在せず、素数数に存在する。

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背理法

1 ななしのよっしん
2020/03/18(水) 17:49:18 ID: Ehu7JT7rxe
へー
2 ななしのよっしん
2021/01/02(土) 21:59:57 ID: E0+HFuAibe
2021年現在、丸大ハンバーグの記事がないのに驚き(マルシンハンバーグの記事はある)
今までにどれほど多くの小学生がこのCM背理法をかけた駄洒落を吐いてきたのやら
>>sm12580748exit_nicovideo
3 ななしのよっしん
2021/02/05(金) 14:29:28 ID: 64Rt0VeR0L
背理法が通じないっているよな
4 ななしのよっしん
2021/04/10(土) 10:20:41 ID: 7aQo5a8OCi
>>3

(この記事にもあるけど)
説明する方も排中 (「である」か「でない」かのどちらかにしかなりえない) が前提ということががすっぽ抜けてる場合があるので気をつけたい。
5 ななしのよっしん
2021/12/07(火) 15:46:07 ID: YuWLvVJd70
背理法vs悪魔の証明って
問題提起したお前明しろで終わりだよな
6 ななしのよっしん
2022/07/09(土) 01:00:46 ID: vyeNJrxSsE
数学に関係ない話でも
「相手のが正しいと仮定」
→「別の所で不合理や矛盾が生じることを示す」
→「相手のが誤りだとせざるを得ない」
こういう流れの論理展開に持ち込むのはよくある話
相手のを受け止める態度を示すことにもなる

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