虚数単語

キョスウ

虚数とは、

  1. 実数でない複素数のこと。
  2. 二乗して0未満の実数になる数のこと。純虚数とも呼ぶ。

本稿では1.について述べる。

概要

1545年にイタリア数学者であるジェロラモ・カルダーノが、3次方程式の解法を示すために初めて導入する。1572年には、同じくイタリア数学者であるラファエルボンベリが、数学的な定義をした上で諸問題を整備した。

発案された当時は、まだ世間では負の数やゼロでさえ実在しない数として扱われていたため、実在しない数の平方根を要素に含む虚数は、輪を掛けてありえない数であった。この「ありえない数」に「虚数(imaginary number)」という名前を与えたのはルネ・デカルトであるが、デカルト自身は虚数を否定的に捉えていたようである。いずれにせよ、「ありえない数」「実在しない数」という感覚が篭っているネーミングである。

なお、この時代(ルネサンス期)に小数点による小数表記及び対数ジョン・ネイピアにより発明されている。

その後レオンハルト・オイラーにより幾何学と虚数の間に渡しがなされ、カール・フリードリヒ・ガウスにより複素数面(ガウス面)が提案されると、幾何学的な問題を代数学的に扱うためのツールとして脚を浴びることとなった。オイラーの功績については「虚数単位」の項が詳しいので、別途参照して欲しい。

現代においては、電磁気学や量子力学といった物理学分野や、信号処理や制御理論といった工学分野で当たり前のように用いられている。

数学的な定義と基本演算

複素数zを、以下のように定義する。

このうちb≠0のものが虚数である。

ガウス面においてはx座標にa、y座標にbをプロットすることでzを二次元上の点として扱う。またガウス面状では、原点とzを結ぶ直線とy軸の成すθとするとき、以下が成り立つ。

  • z = a + bi = √(a2+b2)×(cosθ+isinθ)
  • √(a2+b2) をzの絶対値と呼び、|z|と表記する

また、四則演算(特に乗除)はこのようになる。

  • z = a + bi = r(cosθ+isinθ) , w = c + di = s(cosφ+isinφ)
    • r = √(a2+b2) , s = √(c2+d2)
  • z + w = (a + b) + (c + d)i
  • z - w = (a - b) + (c - d)i
  • z × w = (ac - bd) + (bc - ad)i = rs{cos(θ + φ) + isin(θ + φ)}
  • z ÷ w = (ac + bd)/(c2 + d2) + (bc - ad)i/(c2 + d2) = r/s{cos(θ - φ) + isin(θ - φ)}
    • ただしs = |w| > 0 に限る(0での除算は出来ないため)

なお、電磁気学では電流をiで表すことが多いため、虚数単位jと表記するのが慣例である。

モチーフとしての虚数

「存在しない」「数学物理の難解な理論に頻繁に用いられる」などのイメージから、創作近代以降のオカルトモチーフとして虚数が用いられることがある。

創作での用法の代表例には、「虚数間」などが挙げられる。

近代オカルトでの用法の代表例には所謂生命の(セフィロト)の対極である「邪悪の(クリフォト)」がある。尚、余談だが邪悪のの悪徳名はテイルズオブジアビスの地名に使われているようである。

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虚数

51 ななしのよっしん
2017/01/15(日) 11:48:52 ID: vaHaK59Coi
>>46
三次方程式だけだとまで市民権というところまではいかないんじゃないかな。カルダーノは虚数を使えば説明できるのは分かってたが、どうにかなくせないか試行錯誤してたわけだし。テクニックとしては考えられても、それは計算上の見たの問題じゃないかという疑いのレベルにまだあった。
虚数が必然的なものだと言えるようになるのは代数学の基本定理の方だと思う。なにせn次方程式複素数の範囲でn個の解を出すというのはどう考えても何かあるとしか思えない。ガウスなんかは慎重だからそれを明するのに「方程式は1次または2次の組に分解できる」という回りくどい言い方にしてるんだけど、そのガウスがもういいだろといって虚数を表に出したのはわりと晩年だったりする。
52 ななしのよっしん
2017/01/28(土) 23:18:44 ID: Jotn/wQPTh
生まれて初めて虚数に出会って拒絶する人→貧弱一般人コース

数学っておもしろ!もっと学びたいっ→数学廃人コース、やがていくえ不明
53 ななしのよっしん
2017/06/10(土) 04:20:09 ID: IYiKgGihvB
複素数記事名変更して、虚数リダイレクトさせたほうがいい気もするなぁ
虚数の定義、「正方形じゃない長方形」に名前を付けるようなものでなんとも不自然
54 ななしのよっしん
2017/09/23(土) 02:40:58 ID: lKbDN96lBq
便利じゃん
最初に考えた人は「に」天才だと思う
人類史上10本には確実に入る発明
55 ななしのよっしん
2017/11/18(土) 18:23:44 ID: fZnMWgc+qe
>>53
記事名の変更は一理あると思うけど、正方形じゃない長方形の名前はむしろ欲しい。
というか、「長」方形って名前で正方形含んでる方が不自然なような。
全てのが直って意味なら矩形って言葉もよく使われてるし、長方形から正方形を外して、両方まとめたものを矩形と呼ぶとかとしたほうがベターなんじゃないかなあ。
スレチになってしまったがw
56 ななしのよっしん
2017/12/27(水) 00:54:39 ID: GCiBsDXGu3
三角関数が円運動の影に過ぎないことを一発で説明できるすごい数。
57 ななしのよっしん
2018/09/14(金) 15:45:27 ID: JVkWjgSs0u
虚数を使うはよくその他のより難しいとされているけど
・直流に対する交流
・微積分学に対する複素解析
古典力学に対する波動関数
58 ななしのよっしん
2018/10/17(水) 22:07:49 ID: 2s3uwW9nUx
高校数学のカリキラムからは外れてるとかでおまけで習った程度だったけど
大学普通に出やがってこの野郎
複素数面で複素数かけたり数かえてくるくる回るの好き
59 ななしのよっしん
2019/04/02(火) 08:17:14 ID: F7Bg6Sn6cK
>>43
周波数ωの交流電下において、コイルをjωf,コンデンサを1/jωcと置くことで、
オームの法則コイル・コンデンサにも拡できる。
60 ななしのよっしん
2019/04/02(火) 08:18:22 ID: F7Bg6Sn6cK
>>43
訂正
周波数ωの交流電下において、コイルをjωL,コンデンサを1/jωcと置くことで、
オームの法則コイル・コンデンサにも拡できる。

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