虚数単語

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虚数とは、

  1. 実数でない複素数のこと。
  2. 二乗して0未満の実数になる数のこと。純虚数とも呼ぶ。

本稿では1.について述べる。

概要

1545年にイタリア数学者であるジェロラモ・カルダーノが、3次方程式の解法を示すために初めて導入する。1572年には、同じくイタリア数学者であるラファエルボンベリが、数学的な定義をした上で諸問題を整備した。

発案された当時は、まだ世間では負の数やゼロでさえ実在しない数として扱われていたため、実在しない数の平方根を要素に含む虚数は、輪を掛けてありえない数であった。この「ありえない数」に「虚数(imaginary number)」という名前を与えたのはルネ・デカルトであるが、デカルト自身は虚数を否定的に捉えていたようである。いずれにせよ、「ありえない数」「実在しない数」という感覚が篭っているネーミングである。

なお、この時代(ルネサンス期)に小数点による小数表記及び対数ジョン・ネイピアにより発明されている。

その後レオンハルト・オイラーにより幾何学と虚数の間に渡しがなされ、カール・フリードリヒ・ガウスにより複素数面(ガウス面)が提案されると、幾何学的な問題を代数学的に扱うためのツールとして脚を浴びることとなった。オイラーの功績については「虚数単位」の項が詳しいので、別途参照して欲しい。

現代においては、電磁気学や量子力学といった物理学分野や、信号処理や制御理論といった工学分野で当たり前のように用いられている。

数学的な定義と基本演算

複素数zを、以下のように定義する。

このうちb≠0のものが虚数である。

ガウス面においてはx座標にa、y座標にbをプロットすることでzを二次元上の点として扱う。またガウス面状では、原点とzを結ぶ直線とy軸の成すθとするとき、以下が成り立つ。

また、四則演算(特に乗除)はこのようになる。

  • z = a + bi = r(cosθ+isinθ) , w = c + di = s(cosφ+isinφ)
    • r = (a2+b2) , s = (c2+d2)
  • z + w = (a + b) + (c + d)i
  • z - w = (a - b) + (c - d)i
  • z × w = (ac - bd) + (bc - ad)i = rs{cos(θ + φ) + isin(θ + φ)}
  • z ÷ w = (ac + bd)/(c2 + d2) + (bc - ad)i/(c2 + d2) = r/s{cos(θ - φ) + isin(θ - φ)}
    • ただしs = |w| > 0 に限る(0での除算は出来ないため)

なお、電磁気学では電流をiで表すことが多いため、虚数単位jと表記するのが慣例である。

モチーフとしての虚数

「存在しない」「数学物理の難解な理論に頻繁に用いられる」などのイメージから、創作近代以降のオカルトモチーフとして虚数が用いられることがある。
近代オカルトでの用法の代表例には所謂生命の(セフィロト)の対極である「邪悪の(クリフォト)」がある。

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虚数

60 ななしのよっしん
2019/04/02(火) 08:18:22 ID: F7Bg6Sn6cK
>>43
訂正
周波数ωの交流電下において、コイルをjωL,コンデンサを1/jωcと置くことで、
オームの法則コイル・コンデンサにも拡できる。
61 sage
2020/09/04(金) 08:14:48 ID: 0m8x0s9bA3
宇宙の膨について調べてたら虚数を知りました
62 ななしのよっしん
2020/09/09(水) 18:43:36 ID: pvoxuFA6uV
交流電気回路で複素数が出るのはフーリエ変換をしているから
実数しかとらない時間の関数フーリエ変換して周波数間で表示するときに必然的に複素関数になるだけで別に交流にしたとたん複素数値電流が流れ出すわけではない
63 ななしのよっしん
2020/09/10(木) 15:17:12 ID: cGJ6pDLbmu
>>50
加法の世界では負の数が自然と出てくるけど、乗法と正の数の世界からはゼロと負の数は出てこない
1から1を引けばゼロ、更に1を引けば簡単にマイナスになるのでゼロを端にした半直線を描くのは普通に感じるが、割り算では1をどんなに大きな数で割っても決してゼロにはたどり着かない
負の数を符号と絶対値で表した所から実は順序対の世界に踏み込んでいたのかもしれない
64 ななしのよっしん
2020/09/11(金) 02:53:17 ID: pvoxuFA6uV
複素数体が虚数単位iを添加した実数体の拡大体になっているので複素数は必然的に実数スカラー、単位ベクトルを1、iとするベクトル間となる
65 ななしのよっしん
2021/05/08(土) 16:36:48 ID: eRz8ZU8qm/
結局実数虚数は別次元の存在で例えるなら地下鉄東西線南北線
実数(東西線)に乗ってる限りスカラー方向(東西線)にしかたどり着けないが
実数から抜け出す(乗り換えるなり地上に出る)と南北方向も含めた複素数面のベクトル間になる
虚数iを掛けて90度回転するのも2乗で反転するのも南北方向に回りしてるだけの話
66 ななしのよっしん
2021/05/08(土) 19:16:55 ID: wBP8/m0lLr
パラメーターが複数あるのに安易に優劣付けようとするやつは虚数を学んだことない?
67 ななしのよっしん
2022/06/18(土) 17:47:58 ID: eErkDOL4Dg
虚数なんてiに限らず、分を0にしたタイプとか何でも定義できると思う。
元々ルートマイナス1がもし存在したらというifから生まれているわけだし。
68 ななしのよっしん
2022/11/29(火) 17:08:31 ID: 4E82UI22Eq
虚数も負の数と同じく直接観測する事は出来ないが実態として存在すると仮定した場合色々な事褄が合う、というもの。0除算定義自体はどうとでも出来るが実態として存在することが明出来ない以上、お偉いさんいちいち定義しないというのが実情である。
また「色」のような概念系には負の数も虚数も存在しない、例えばマイナス赤色などという色は存在せず、マイナス1個やi個のりんごを想像することも観測する事も出来ない、しかしマイナス1個りんごがあるという状態は存在するということである。(りんごはそれ自体概念ではないため)
同系でありながら負の数とべて受け入れがたいのはやはり虚数という呼称だろう、負の数Mkとかなら感覚的にも存在するような気がしてくる。
69 ななしのよっしん
2022/11/30(水) 17:47:32 ID: i9P6aDlbm0
https://www.sciencenews.org/article/quantum-physics-imaginary-numbers-math-realityexit
量子力学には複素数は不可欠であり、現実世界虚数は存在しうるという記事。