虚数単語

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虚数とは、

  1. 実数でない複素数のこと。
  2. 二乗して0未満の実数になる数のこと。純虚数とも呼ぶ。

本稿では1.について述べる。

概要

1545年にイタリア数学者であるジェロラモ・カルダーノが、3次方程式の解法を示すために初めて導入する。1572年には、同じくイタリア数学者であるラファエルボンベリが、数学的な定義をした上で諸問題を整備した。

発案された当時は、まだ世間では負の数やゼロでさえ実在しない数として扱われていたため、実在しない数の平方根を要素に含む虚数は、輪を掛けてありえない数であった。この「ありえない数」に「虚数(imaginary number)」という名前を与えたのはルネ・デカルトであるが、デカルト自身は虚数を否定的に捉えていたようである。いずれにせよ、「ありえない数」「実在しない数」という感覚が篭っているネーミングである。

なお、この時代(ルネサンス期)に小数点による小数表記及び対数ジョン・ネイピアにより発明されている。

その後レオンハルト・オイラーにより幾何学と虚数の間に渡しがなされ、カール・フリードリヒ・ガウスにより複素数面(ガウス面)が提案されると、幾何学的な問題を代数学的に扱うためのツールとして脚を浴びることとなった。オイラーの功績については「虚数単位」の項が詳しいので、別途参照して欲しい。

現代においては、電磁気学や量子力学といった物理学分野や、信号処理や制御理論といった工学分野で当たり前のように用いられている。

数学的な定義と基本演算

複素数zを、以下のように定義する。

このうちb≠0のものが虚数である。

ガウス面においてはx座標にa、y座標にbをプロットすることでzを二次元上の点として扱う。またガウス面状では、原点とzを結ぶ直線とy軸の成すθとするとき、以下が成り立つ。

また、四則演算(特に乗除)はこのようになる。

  • z = a + bi = r(cosθ+isinθ) , w = c + di = s(cosφ+isinφ)
    • r = (a2+b2) , s = (c2+d2)
  • z + w = (a + b) + (c + d)i
  • z - w = (a - b) + (c - d)i
  • z × w = (ac - bd) + (bc - ad)i = rs{cos(θ + φ) + isin(θ + φ)}
  • z ÷ w = (ac + bd)/(c2 + d2) + (bc - ad)i/(c2 + d2) = r/s{cos(θ - φ) + isin(θ - φ)}
    • ただしs = |w| > 0 に限る(0での除算は出来ないため)

なお、電磁気学では電流をiで表すことが多いため、虚数単位jと表記するのが慣例である。

モチーフとしての虚数

「存在しない」「数学物理の難解な理論に頻繁に用いられる」などのイメージから、創作近代以降のオカルトモチーフとして虚数が用いられることがある。
近代オカルトでの用法の代表例には所謂生命の(セフィロト)の対極である「邪悪の(クリフォト)」がある。

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虚数

67 ななしのよっしん
2022/06/18(土) 17:47:58 ID: eErkDOL4Dg
虚数なんてiに限らず、分を0にしたタイプとか何でも定義できると思う。
元々ルートマイナス1がもし存在したらというifから生まれているわけだし。
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68 ななしのよっしん
2022/11/29(火) 17:08:31 ID: 4E82UI22Eq
虚数も負の数と同じく直接観測する事は出来ないが実態として存在すると仮定した場合色々な事褄が合う、というもの。0除算定義自体はどうとでも出来るが実態として存在することが明出来ない以上、お偉いさんいちいち定義しないというのが実情である。
また「色」のような概念系には負の数も虚数も存在しない、例えばマイナス赤色などという色は存在せず、マイナス1個やi個のりんごを想像することも観測する事も出来ない、しかしマイナス1個りんごがあるという状態は存在するということである。(りんごはそれ自体概念ではないため)
同系でありながら負の数とべて受け入れがたいのはやはり虚数という呼称だろう、負の数Mkとかなら感覚的にも存在するような気がしてくる。
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69 ななしのよっしん
2022/11/30(水) 17:47:32 ID: i9P6aDlbm0
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70 ゼロの概念を生み出した男
2023/01/10(火) 22:23:04 ID: qMkMIXLuE6
複素微分とかユークリッド距離の計算ができるような、通常よく言われている複素数世界への拡には実数が必要だけど、

虚数単位(i^2=-1)を定義するだけなら、整数のみが要素の行列[[0,-1],[1,0]]を使えば定義できるから、この段階では実数はまだ出てこない。

これと単位行列[[1,0],[0,1]](これも全て整数)、それに2つのスカラー(実部と虚部のこと)、加算、行列積を使ってごにょごにょすれば、a+biという形の数の世界が作れる。

ここで、2つのスカラーのところを整数にすればガウス整数有理数にすればガウス有理数になる。特にガウス整数素因数分解研究で使われることがある。

ところが、ガウス整数ガウス有理数も、実数概念を使うことなく定義出来ている。しかもガウス有理数は通常の有理数世界と同じように四則演算が可

実数概念本質的に必要となるのは、実は微積分などのように解析的な議論をするときで、この考え方からは複素数というのは寧ろ、単純に言えば先程の2つのスカラーを実数に拡したものと捉えることができる。

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71 ゼロの概念を生み出した男
2023/01/10(火) 22:38:54 ID: qMkMIXLuE6
ガウス整数面のイメージについて全く触れてなかったので補足すると、個々のガウス整数は格子状(グリッド)になった面の上に点として乗っかるイメージ。だからガウス整数整数と同じように離散的(デジタル)で、連続的(アナログ)な実数とはその意味で対的。積が回転としての意味を持っているのは複素数と一緒。

ところでガウス整数ガウス有理数(通常の有理数も含む)は、数の集合として有限な範囲なら、コンピュータプログラム上で近似なく厳密に実装。厳密に表現するには任意の精度が必要となる実数が、コンピュータ上では近似的にしか表せないのとは対的で、その意味では寧ろ実数のほうが実体として捉えるのが難しいまである。(因みに有理数も、ある意味で2つの整数リストとして扱える。)
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72 ゼロの概念を生み出した男
2023/01/14(土) 11:32:40 ID: qMkMIXLuE6
直感的に1+2iと3^√5の一体どちらが「感覚的」に面や数直線上で捉えられるか確かめてみるといいのではないか。

しかし、「感覚的」という言葉に限らず、日常の場でも数学議論の場でも関係なく、言葉というものは多義的なものだ。

薩摩」から日本アメリカのようないわゆるのようなイメージで捉えてしまってるのか、バイエルンプロイセンのように領地のイメージで捉えているのか、かつての薩摩風景を映した写真を見て視覚的にイメージを膨らませているのか。上の叙述で「」だけでなく「イメージ」すらも多義的に使われていることに気づくだろうか。

数学の言葉というのは、基本的に「名は体を成さない」。自然科学とも実に話が混同されやすい。しかも数学では基本的に易な言葉が多用されるから、日常での言葉の意味とも混同しやすい。ところが数学内でも通常文脈によって意味が異なることは普通だ。(f(x+h)は、fとx+hを掛けたものなのか、関数fにx+hを放り込んだものなのか。)

要するに、「感覚的」な「虚数」や「実数」の「イメー
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73 ゼロの概念を生み出した男
2023/01/14(土) 11:40:11 ID: qMkMIXLuE6
実数は実際には有限小数の表記のことをしているのか、有限小数で表せるような数をしているのか(これは整数分の整数で表せる)、(理論値に対する)実測値のことをしているのか。
それとも有理数でないやeやπの個々の数のことを言っているのか、実間(実数集合)に含まれる要素のことを言っているのか、デデキント切断のような実数公理や特徴づけに関するものを言っているのか、離散と連続に関することについて言っているのか、浮動小数点数のことを言っているのか。

存在する間、存在しない間ってどういう意味で言っているんだろう。そして実数は存在する間を表しているのか、虚数は存在しない間のことを表しているのか。そもそも存在する存在しないは関係ないのか。関係ないってどういう意味だろう。

しかしそもそもどんな数学具でも、現実のものだろうがフィクションのものだろうが関係なく、それらを表すことができるのではないだろうか。そもそもそれが全くできなかったら数学と言えるだろうか。

そもそも数学は、これこれになっていればこうならなければな
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74 ゼロの概念を生み出した男
2023/01/14(土) 11:52:00 ID: qMkMIXLuE6
虚数想上の回転を表せるけど、現実時計の針みたいなものすら表せないのだろうか。実数現実間に存在する二つの物体の距離を表せるけど、想上の2つの物体をいかなるときでも表すことはできないのだろうか。

現実に存在する人の関係性は直積やネットワークグラフで表すことはできるけど、フィクション上のキャラカップリングや人物相関図、好感度は、直積やネットワークグラフで表すことはできないのだろうか。

私が投稿した一通りのレス(長文失礼)を読んでも、一体全体が意味不明な話だと思う人は、数学に関して根本的な誤解をしている可性が高い。それに、実数虚数を「対的に捉えた議論」に「ずっと拘り続けてる」人も根本的な誤解をしている可性が高いと思う。
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75 ななしのよっしん
2023/02/25(土) 16:43:10 ID: eZrxw/h0O0
だれうま

もしiだとしても、
-1は虚数で存在しない数だから
そこにはないんだろうな
https://twitter.com/14daykey/status/1629363232237584384?s=46&t=bvQ_JhmglgX80Ff9kM7kMQexit
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76 ななしのよっしん
2023/05/21(日) 14:55:01 ID: b2K+McSYb4
疑似的に」現実に存在させることができる、実現可性のある数・要素という印
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