行列単語

ギョウレツ
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行列とは、

  1. 列を組んで並んでいる様 (queue)。日本人は諸外べきれいに順番を守って列に並ぶ特徴があり、大規模な行列を自発的に組むことで知られている。ラーメン屋、正月福袋電車の乗り降りなどの待機列や、コミケなどの大規模なイベントでよく観察される現である。
    また、長い行列をつくる動物としてが代表的。
  2. 数字を方形に並べたもの (matrix)。当記事で説明
  3. テレビ番組行列のできる相談所』の略称2021年9月までは『行列のできる法律相談所』。

2. の概要

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

上記の行列は (3×4) 行列である。 (1, 2, 3, 4) のような平成分を行、 (2, 6, 10) などの垂直成分を列という。各成分を行と列の番号定できる。例えば7は (2, 3) 成分である。ベクトルまたは垂直の成分のみからなる行列と見ることができる。

この記事では行列を表記するとスペースを取るので、(m×n)行列の成分表示A=[aij]m×nをする。明らかな場合は[aij]m×n=[aij]と書く。

行列同士の演算は以下のように定義される。i, j, k, l, m, nは自然数、x, aij, bijは通常は複素数もしくはその部分体である。

  • 和 A+B=[aij]m×n+[bij]m×n=[aij+bij]m×n
  • スカラー倍 xA=x[aij]m×n=[xaij]m×n
  • 積 AB=[aij]m×n[bij]n×k=[a1jbi1+a2jbi2+…+anjbin]m×k=[Σl=1naljbil]m×k

このとき、次が成り立つ。

和に関してA, Bがともに(m×n)行列である必要がある。積に関してAが(m×n)行列である場合はBは(n×k)行列である必要がある。したがって、k=mでない場合はABが定義できてもBAは定義できない。また、k=mであってもm≠nである場合、行列のサイズが異なるので一般に交換法則AB=BAは成り立たない。さらに、k=m, m=nであっても交換法則は一般には成り立たない。

なぜこのような厄介な積になっているかというと、線形変換という変換があるためである。

x2=ax1+by1
y2=cx1+dy1

(x2, y2)は(x1, y1)の線形結合(つまり定数倍したものの足し算)で表すという変換である。もう一度作用させる。

x3=ex2+fy2
y3=gx2+hy2

この時、(x3, y3)は(x1, y1)で表すと以下のようになる。

x3=(ea+fc)x1+(eb+fb)y1
y3=(ga+hc)x1+(gb+hd)y1

これは行列とベクトルで書くと以下のようになる。

x3 = e f a b x1
y3 g h c d y1

つまり、行列の積は線形変換の合成を表現するのに都合がいいように定義されているのである。

k=m, m=nの場合である正方行列は座標系の変換を表現するのに都合がいいため、数学物理で非常に重要な役割を持つ。理系の大きなとなっているが、そのほかにも都合のいい性質を多く持つため、純数学はもとより、物理数学ほぼ全ての方面で当然のように現れる基本的概念である。しっかりと理解し習得しておきたい。

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行列

1 ななしのよっしん
2018/08/11(土) 08:26:11 ID: dPOsTiS1xJ
1. の行列キュー(queue)、2. の行列マトリックスmatrix
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2 ななしのよっしん
2020/02/29(土) 12:49:12 ID: kEsSDaczOg
するのはコミケゲームハードソフトの購入とガンプラ購入だけでいい
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3 ななしのよっしん
2020/04/26(日) 15:44:34 ID: OCIc95l5On
こんな行列はしなくていい

大阪パチンコ店に数人の行列 休業要請、店名表後もなお4店舗が営業を継続
https://news.nicovideo.jp/watch/nw7122310exit_niconews
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4 ななしのよっしん
2021/07/28(水) 06:34:43 ID: n4JFmf9HJt
行列と組み合わせで3連単馬券挙げてる先生がいたな…
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5 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 05:17:33 ID: d7s23Scve6
ベクトル行列の積のグラフ的解釈
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6 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 05:23:58 ID: d7s23Scve6
ベクトルの内積のグラフ的解釈と標準的記法
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7 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 05:32:38 ID: d7s23Scve6
行列の直交分解グラフ的解釈
直交行列クロスするノードの行列として表現される
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8 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 05:48:41 ID: d7s23Scve6
表列の各成分のグラフ的解釈
ノードに該当の実数が割り振られる
各成分毎に実数値の積が行われ、ノードの本数だけ総和がとられる
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9 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 05:56:17 ID: d7s23Scve6
前の図を行列内部のノードを省略して書いた図
最下部の図から、実数解放ノードのノードのみのグラフベクトル解放ノードの組が一つだけあるグラフ行列は2つあるグラフと解釈される
3つ以上解放ノードのあるグラフは通常テンソルと呼ばれる
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10 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 06:04:57 ID: d7s23Scve6
x解放短→〇解放
これはペンローズグラフ記法、ペンローズヒエログリフなどと呼ばれる
群論、線形代数の圏論的解釈の入り口として有用
以下のものがわかりやすい
https://note.com/teion_burns/n/n5f486f83dd81exit
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