Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理単語

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Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理とは、積間の稠密度を測る定理のことである。

定義と定理の主張

位相間Xに対して、d(X)によりXの稠密部分集合の濃度の最小値を表すとする。これをXの稠密度という。とくにd(X)=ℵ0のときXを可分という。

次が定理である;

Xa,a∈Aを、2点以上を有するハウスドル間とし、各a∈Aについてd(Xa)≦mであるとする。積間X=Π{Xa:a∈A}について、d(X)≦mとなるための必要十分条件は|A|≦2mである。

証明

必要性を示す。

Xaから二点pa,qaをとり、開集合Uaをpa∈UaCl(Ua)⊂Xa\{qa}となるようにとる。ただしClは閉包を表す。πa:X→Xaを射影とし、PをXの稠密部分集合で|P|≦mとする。

各aについてfa:P→{0,1}を、fa(p)=1(πa(p)∈Ua),0(πa(p)∈Xa\Ua)で定めると、対応a→faは単射であるから、これにより|A|≦|2P|=2mがわかる。

十分性を示す。

Xaはすべて濃度mの離散集合、Aを濃度2mとして、つまりA={0,1}mとして示せば十分。従ってXはAから濃度mの離散集合への写像全体に積位相を与えた間と考えられる。Aは二点の離散間に積位相を与えた間とし、Yを濃度mの離散間とする。UをAの濃度mの開基として、U'によりUの素な(どの2つも交わらない)有限個の開集合の族全体の集合を表すとする。|U'|=mである。

一点x0∈Yを固定する。ある{U(1),...,U(n)}∈U'に対して、各U(i)上で定数であり、z∈A\∪i=1nU(i)のときf(z)=x0となるような写像f:A→Yの集合をPと置く。|U'|=mであって|Y|=mであるから|P|=mm=mである。このPがXで稠密であることを示せば良い。

(xa)∈Xを任意に取る。相異なるa(1),...,a(n)∈Aをとれば、AはハウスドルフであってUはAの開基であるからa(i)∈U(i)となる{U(i)}∈U'がある。f:A→Yをf(U(i))=xa(i)であって、それ以外でx0と定めるとf∈Pであるから、

 f ∈ P ∩ {(x'a)∈X : x'a(i)=xa(i) , i=1,2,...,n } ≠ ∅

従って(xa)∈ClXPとなってPはXで稠密。◻︎

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Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理

1 ななしのよっしん
2016/07/13(水) 18:32:14 ID: dmjDC60QwZ
対応a→faの単射性が分かりづらいので、補ってくれるとありがたいです。

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