ε-δ論法

31 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2015/05/15(金) 23:44:33 ID: CS9oalHN9T
>>30 向いていないね。
LaTeXに対応してくれれば嬉しいけど、大百科数学wikiではないからね。
お絵カキコ数式画像作るのは手間だし。

でもwiki並みに畏まらなくて良いのが大百科の良い所。
32 ななしのよっしん
2015/08/04(火) 05:42:28 ID: YrJeGkYWWe
「数列{xn}がaに収束する時、(x1+x2+…xn-1+xn)/nは一体どうなるのか?」
なぜこれを解くのにε-n論法が必要なんですか?
33 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2015/08/04(火) 14:27:06 ID: CS9oalHN9T
>>32 概略でよければ。思い出しで書いてるので不備があったら申し訳ない

問.Xn->a (n->) のとき (X1+X2+…+X(n-1)+Xn)/n の極限値をめよ

明概略
任意の正実数εに対しある適当自然数mが存在し、n>m ⇒ |Xn-a|<ε が成り立つ。…(*)
ここで、Yn=(X1+X2+…+Xm)/n + (X(m+1)+X(m+2)+…+Xn)/n とおき、
(X1+X2+…+X(n-1)+Xn)/nの極限値をαとしておく。

|Yn-α|≦|(X1+X2+…+Xm)/n - mα/n| + |(X(m+1)+X(m+2)+…+Xn)/n - (n-m)α/n| (三不等式より)

ここでα=aと仮定する。第二項に注すると、
|(X(m+1)+X(m+2)+…+Xn)/n - (n-m)a/n|
= |(X(m+1)+X(m+2)+…+Xn - (n-m)a)/n|
= (|X(m+1)-a|+|X(m+2)-a|+…+|Xn-a|)/n (三不等式
< (n+m)ε/n < ε ((*)より)

さらに第一項については
|(X1+X2+…+Xm)/n - ma/n| = |(X1+X2+…+Xm-ma)/n|
だが、分子はnとは関係な定数なので、ある適当自然数pが存在し
n>p ⇒ |(X1+X2+…+Xm-ma)/n|<ε が言える(これの明は省略

故にn>max{m,p} ⇒ |Yn-a| <ε+ε = 2εとなり、
εは任意の正実数だったので、係数の2は視できる。(本当の明では上手く褄を合わせる)
Ynはaに収束する為、私達がめる極限値はaだった。
34 ななしのよっしん
2015/08/04(火) 21:30:58 ID: YrJeGkYWWe
>>33
自分の質問は、ε-n論法を使った明はどうなるのか。ではなく
この問題(>>32)を明するためにε-n論法を使用する意味はどこにあるのか。と言う事です。
あるいはε-n論法が使えなければこの問題が解けない理由を知りたいのですが・・・
35 ななしのよっしん
2015/08/04(火) 22:05:41 ID: YrJeGkYWWe
加えて疑問なのは第一項明は省かれてますが、
絵に描いた関数の場合、m番より前についてεで抑えられるとは言い切れないと思いますが、どうなんでしょうか?
こんな関数はどうなる?
タイトル:こんな関数はどうなる?
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36 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2015/08/04(火) 23:01:49 ID: CS9oalHN9T
>>34
数列の極限についての明なんですから、極限を扱う為にε-n論法を使うのは自然だと思います。
これを使わないと解けないか、と問われれば私の狭い見識では「難しい」としか言いようがないです。

>>35
第一項については、定数kを用いての k/n -> 0 (n->) は簡単に導けるので省略しました。

その図についてはε>0 δ ; x>δ ⇒ |f(x)-α|<ε
つまり「δより大きいxについて、f(x)α誤差εに収まって」が成り立てばよいので問題ないです。

もしも第一項はmより前の数列なのにεに収まると言い切るのはおかしい。
という摘ならば、もう一度よく明は読んでいただきたく。
37 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2015/08/04(火) 23:09:48 ID: CS9oalHN9T
誤字脱字修正…
収まって⇒収まる、明は⇒明を

加えて追記
何故、ε-δ論法が多くの学生に嫌われる課題なのに避けて通れない課題なのか、
この論法の重要性、論法が持つも意識して頂きたく。
38 ななしのよっしん
2015/08/07(金) 21:13:18 ID: fxb0W145YQ
グラフが出てきたあたりから何言ってるか全然分からん
これ理解できる人すげぇな
39 ななしのよっしん
2015/08/13(木) 20:09:16 ID: 4ytxGG5rCc
文字なんて飾りです 偉い人にはそれが分からんのですよ。”
ネタだろうけど、εじゃなくてAとか使うと常識のない人と思われるよ。理論的には正しいけど
40 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2015/08/14(金) 06:28:58 ID: CS9oalHN9T
>>39
「点、線、面と呼ぶ代わりにテーブルイスビールジョッキと呼んでも構わない」
(ダフィットヒルベルト)
41 ななしのよっしん
2015/08/18(火) 19:22:56 ID: /gC7L8VxJA
>>35
mより右の話しかしていないので問題ないかと
epsilondelta
タイトル:epsilondelta
この絵を基にしています!
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42 ななしのよっしん
2015/09/09(水) 23:44:37 ID: CxhcOJMpqp
>>32>>33
こういうのは、理由を言うのは難しいというか、実際にトライしてみてみるのが話がいと思うんだけど、あえて説明してみる。

高校で習う極限の公式を整理する。{An},{Bn},{Cn}を収束する数列とする。公式としてあるのは2つある。
1つとして
lim(An+Bn)=lim(An+)+lim(Bn)
lim(An*Bn)=lim(An)*lim(Bn)
lim(An/Bn)=lim(An+)/lim(Bn) ※limBn≠0が必要
みたいな、四則演算を極限の外に出せる公式がある。
2つとして、An<Bn<Cnならlim(An)<=lim(Bn)<=lim(Cn) というハサミ打ちの公式がある。
この2つを使って、数列{xn}がaに収束する時、(x1+x2+…xn-1+xn)/nがaに収束すると言えるのか考える。

43 つづき
2015/09/10(木) 00:12:47 ID: CxhcOJMpqp
まず認識しないといけないのは、(x1+x2+…xn-1+xn)はn→のとき、項の数が限個に増えていくということだ。すると、>>42の1つ公式ど使えないと思える。なぜなら、この公式はあくまで2つの数列間の四則演算を極限の外に出せる公式であり、帰納法を使っても高々有限個の数列の間でしか使えないからだ。
(x1+x2+…xn-1+xn)/nを有限個の部分和(積でもいい)に分割しても話は解決しないのは明らかだよね。なぜなら、結局どれか1つの部分和に限個の項が入るため、元の問題に戻ってしまうから。(話が難しくなるだけで限個の和という本質は何も解決しない)

次に>>42の2つ公式(ハサミ打ち)を利用することを考える。つまり、(x1+x2+…xn-1+xn)/nより常に小さい数列Xnと、常に大きい数列Ynで、各々aに収束するようなものが見つかれば、問題が明出来る訳だ。

だがこのような数列は見つけることは出来ないと思える。なぜなら、上と同様に、どのように工夫したとしても、XnとYnから限個の和をくすことが出来ずaに収束が明出来ないからだ。

理由になったかな?
44 補足
2015/09/10(木) 07:09:46 ID: CxhcOJMpqp
連投となって申し訳ないけど、補足させてもらう。
誤解はないと思うけども、「限個の和」という表現はn→の極限を考えたときの話なので了承して欲しい。
あと、「lim(An+)」とかの細かい誤植はご容赦。
ハサミ打ちの仮定が等号付き不等式でもいいみたいなツッコミもご容赦。
45 ななしのよっしん
2016/02/04(木) 12:19:19 ID: TCVMAZGzKW
ε-δ大学数学もう一つの壁y/x=1⇒y=xを示す

大学数学を学ぼうという皆様方、コイツを頭にぶち込んでs=y、t=x⇒s/t=y/x(sをtで微分するとy/xになる)のようにをピンで使うきたねー等をぶちのめしてやろうぜ
特にラプラス、てめーの事だよ
46 ななしのよっしん
2016/02/19(金) 19:39:18 ID: q+zT30PLp4
ε-N論法に首を絞められている
まあ高校数学大学数学は全然違うよね
整数論とか高校のカリキラムに入れてみたらちょっとは論理ができるようになるんではないかな(適当)
47 ななしのよっしん
2016/05/27(金) 10:49:19 ID: T3j5xC2fA7
イプシロンデルタ論法は、つまり明側と反側でゲームをやるような論法「お前がどんなεを出そうと、はこのカードδを出せば勝てるぜ!」で、そこが面かったりする
数学的には、明から限という概念を排除できたのが大きい
48 ななしのよっしん
2016/06/04(土) 15:29:24 ID: 2WL1rsuTOt
つまりどういうことだってばよ
49 ななしのよっしん
2016/10/29(土) 12:22:34 ID: QjhIByQoCd
>>48
ふえぇ・・・100という数字を出すのに1を99回足すのはしんどいよぉ・・・」
「1+99にすれば一発やぞ」
「うおおおおおおおおおおおおお」

とても楽になりました。めでたしめでたし
50 ななしのよっしん
2016/10/29(土) 18:14:22 ID: 4pYMoTr+aq
これのおかげで数列や級数の収束、関数の極限が厳密に定義でき、
そこから連続、片側極限・片側連続、一様連続が定義できる。

別に難しい話ではなく本質は小中学生でも理解できるが、現実に習うのは大学数学科などだけで
の習得を前提とするのでロジックに本質的な難しさがあると誤認する。
大学の新入生が大学数学に驚き高校数学と全く違うと吹聴して回るのはお染みのだが、
実際には違いは公理的な考えが強まることくらいだ。

新しさを難しさと誤認するのは数学では非常によく見られるが、多くは慣れの問題で本質的難しさではない。
勝手に難しいと思って敬遠したり理解した者が選民意識を持ったりするのは残念だ。
51 ななしのよっしん
2016/11/21(月) 06:11:01 ID: CxhcOJMpqp
多分、本質的に難しいのは述論理(任意の…とか、存在する…とか)の方。
52 ななしのよっしん
2016/11/30(水) 23:12:36 ID: dDvjkjMrZM
わお!
今週のおすすめ記事w
確かに良く書かれている記事だが、なかなかに上級者向けだよなw
53 ななしのよっしん
2016/12/02(金) 17:56:45 ID: Wdr9xnbK1N
今週のおすすめ記事
おめでとうございます
ここまでくると変態だな。良い意味で
54 ななしのよっしん
2016/12/02(金) 18:11:25 ID: qrhGYy6H3s
うろ覚えだけど、大学生の時「ε-δ論法限と言う概念を有限で表している」みたいなこと言っててカッケーとか思った記憶がある

なお結局よく理解できなかった模様
55 ななしのよっしん
2016/12/02(金) 18:53:31 ID: V+YGfkvp1a
数を線ではなく点でとらえることが重要なのかな
56 諸説あります
2016/12/21(水) 11:50:55 ID: uLQmfLfseq
記号を並べるかのように表記する理由のひとつとして、
「少ない画数で簡潔(簡単とは言わない)に表記する」というのがある。
(↑これはイプシロンデルタに限らず多くの計算式に該当する。Σなどは、その代表例)

論、日本語の文章を交ぜて書いてもよい。
「任意の正の数εに対して、以下の条件式を満たす正の数δが存在する。その条件式は……。」
「テキトーに選んだ正の数εに対して、正の数δを適切に選ぶと、以下の条件式を満たす。その条件式は……。」
というように。
但し、それを行なうとなると、ここに記すには余白が狭すぎる…。
57 ななしのよっしん
2017/01/10(火) 20:16:20 ID: Xw9vhi8i+i
曲線を小さく刻んでいくと直線になるんだ、というのが古典微分
小さな直線をつなげば曲線再現できるんだ、というのがε-δ論法

古典微分は直線に「なる」という部分が胡散臭いが、ε-δ論法では必要なだけ再現できてればそれでいい。
58 ななしのよっしん
2017/04/24(月) 08:33:26 ID: TdAH7KMoD4
物理学等においての具体的な使用例を知りたい
59 トゥーン
◆z4FUhp2zYE 2017/04/24(月) 16:11:49 ID: CS9oalHN9T
数学的定義で用いられるものだから、応用数学で特別取り上げられることはあまりいのでは
60 ななしのよっしん
2017/04/25(火) 23:47:16 ID: hoFTrw6dLe
sin x / x はx→0で収束するか、とか、物理工学系でもかなり使われてるけど
厳密に議論するにはε-δが必要なんじゃないかな、多分

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