ニコニコ大百科

>>180
目標地点を亀の位置とはせずに、地平線の果てを目指して走っても良いと思いますよ。

それすればアキレスが亀を抜くことの説明がつきますか？

>>181
逆になんで抜けないの？
俺は意見書いたんだからそれに対して反論してくれよ

>>182
アキレスが亀の位置に進んだとき、亀はその少し先にいます。

この考えは無限に繰り返すことができ、このループをアキレスが抜けることはできないからです。

眼をつぶって走っても、何の解決にもなりません。

>>183
それはアキレスが「その時点で亀がいる場所に向かって走る」という思考をしてるから起こるんでしょ？
アキレスが目をつぶって亀を思考から閉めだしてる時、追いつきそうで追いつかない状態を観測してるのは誰？

>>184
無心で走ってもいいのではないでしょうか。
でも無心で走ると何が解決されるのですか？

>>175がスルーされたので自分で考えるに
アキレスがカメを1秒で抜ける距離にいてその距離を無限に分割したとすると
アキレスは無限分の1秒に一つのペースで無限に分割された距離を進み（あるいは無限に分割された手順を数え）
1秒後にはカメを追い抜いていると、こういうことか

>>185
無心で走るアキレスにとって「亀に追いつく瞬間」は存在しないから、それに至るまでの無限試行なんて存在しないでしょ
他人が試行を何回カウントしようとアキレスにとって無関係、アキレスが永遠を感じることはない

>>177
それ自体は数学的帰納法のような論理で、「アキレスが亀のいた位置に行く」ことを繰り返すプロセスの中では常に正しいことは分かる
問題は、果てしないそのプロセスが有限の時間内に収まってしまうこと（その時間外では正しいとは限らない）

まあ、アキレスと亀が同じスタートラインに立ったらそのプロセスは全く時を刻めないし、アキレスが亀の前からスタートしたら時間を遡るプロセスになるだろうから、追いつくまでの間しか無いのは必然なのかもね

長文すみません

>>173
「10秒後に∞ 個の点を数え終える」というのは数学的に正しくない
数学的に正しい主張は
「任意のn∈Nに対し、m＞nを満たすm∈Nが存在して、10 秒後にm 個の点を数え終えることができる」

>>174
>>173と同じ部分に引っかかってるけど、
「無限に繰り返すことが『できる』」と、「無限に繰り返す」は違う
そもそも∞はε-δ論法において「いくらでも大きく『できる』」状況に対して与えられた記号であって、普通の数(実数や自然数)とは意味合いが全く違う

>>175
m 個のものをn(＞0) 秒に1個ずつ数えると、m 個全てを数え終わるまでにかかる時間はmn 秒
ここで、無限大個のものを無限小秒に1個ずつ数える場合、
すなわちm→∞, n→+0の場合を考えると、無限大個のものを数え終わるまでにかかる時間は lim[m→∞, n→+0]mn と表せる。
この極限の値はm, nの関係式によって変わるので、一概にどうなるとは言えない
例えば、
n=m^(-1) なら lim[m→∞, n→+0]mn =1
n=m^(-2) なら lim[m→∞, n→+0]mn =0

割とまじでZl1HjtIcQoの知能を心配するわ
アキレスが亀を追い抜くには、当然アキレスはまず亀に追いつかなきゃいけないっていう当たり前の話をしてるだけなのに、観測とか目をつぶって走ればとか何を言ってるんだ？

>>186
それはつまり「無限級数は収束するからアキレスは亀を抜けるはず」と言ってるのと何らかわらないですよね。

>>187
それは「よくわかんないけど、とにかく抜いてるはず」と言ってるのと何ら変わらないですよね。

>>191
>>186で俺は、ID: ujev4kyZBhがいうところの無限個の点を数え終わるというのがどういう事かを考えてたんだ

>>189
＞「無限に繰り返すことが『できる』」と、「無限に繰り返す」は違う

これはそんなにあっさり言えないんだよね。
現代数学は実無限論を前提にしていて、「実際には『できる』だけだ」というのは少数論。
このあたりまで詰めて書いてる教科書はそんなにはないかもしれないし、
どっちかっていうと数理哲学の話になってしまうが。

>>191
アキレスがどうしたらループから抜けられるかってのはアキレス視点の話じゃないの？
アキレスがループから抜け出すために抜いた瞬間を知覚する必要はあるの？

>>168
ずれがあることは疑問に感じてはいたのだが、今までスルーされていたもので
この記事においては少なくとも数学的に扱っているし、自分も原則数学のようにして扱っていた
しかし観測するとなると、その位置に到達してから移動を開始する事になるのと何ら変わらないのでは？
変わらないのであれば後ろをついて行く事になるから、パラドックスに感じない

>>186
数学としてはそれで正しい

>>190
観測の話は>>159がしてくれている
数学としては観測を無視しているから、そこは大事な論点となる

うーん、どうも情報が足りないなあ。質問します。

>>def2RwfDHcさん
(1)def2RwfDHcさんは「実際に亀を追い抜いたアキレス」が「亀の位置を順々にたどっていた」と考えているようですが、その理由は何でしょうか？
　　(a)亀の位置をたどる以外に前に進む方法が無いから。必然的にそうなる。
　　(b)「有限分割」だとループしても追い抜くことができるから。
　　(c)その他。
※もし(b)だった場合、、私は「有限分割」の理屈はよく分かっていないので、「有限分割」だとどうして追い抜けるのか、教えてもらえるとありがたいです。

(2)「前に進むこと」と「亀の位置を順々にたどること」を区別していますか？
（両者は同じではないです。「前に進むこと」の方が範囲が広いです。「亀の位置を順々にたどること」は「前に進むこと」に含まれます。）

>>194
知覚する必要はありませんが、どうやって抜いたのかの説明はして下さい。

>>196
>>149の説明がまだのようですので
私に質問する前に、まずはご自身の説明を先にしてみてはいかがでしょうか。
あと私は「有限分割」という言葉を使用していないと思います。

アキレスが亀に追いつくために縮めないといけないのは亀との間の仮想的な距離であり、
それは現実のXm地点に束縛されずに決まっている。
縮めないといけない仮想の距離に対し、現実のXm地点のみをを持ち出して
解決しようとするゼノンの論理はそもそも間違っている。

アキレスと亀の問題そのものが『現実』で閉じていない。それを『現実』の範囲で解けとか理不尽

×『現実』で閉じていない　○『現実』の範囲を逸脱している
下手に論理に数学用語を使おうとするもんじゃないな

>>197
失礼しました。すみません>>149は訂正します。以下に再回答。

>(1) アキレスが亀を抜くためには、その時亀がいる位置まで進まなければなりませんよね？
はい、同意します。
ただし、それだけでは不十分です。

確かに、亀がいる位置まで進む必要があります。でもそれだけでは追い付けません。

これは>>146さんの言うとおり、「必要条件に過ぎない」ということです。不十分なのです。（というか自分でも>>28で書いていました。）


自動販売機で商品を買うには、下記の行程をたどります。
　(1)お金を入れる。→ (2)商品のボタンを押す。→ (3)商品を取り出す。

このゼノンのループは、ボタンを押さずに「商品が出てこないなー」と言っているようなものです。
　(1)お金を入れる。→ (2’)ボタンを押さない。→ (1’)商品が出てこないのでまたお金を入れる。→ (2’)ボタンを押さない。　　以下くり返し。

お金を入れる必要は確かにあります。でもボタンを押さなければ商品は出てきません。

亀の位置まで進む必要は確かにあります。でもそれを超えて前進しなければ亀には追い付きません。


>>150　（>>197）
>「意思の違い」
そこなんですよね。私は「行動の違い」の意図で書いたんですけど、書き方が下手でした。すみません。
　(A)亀を追い抜く過程で、亀がいる位置を通過する。
　　　→「上記自販機の(1)～(3)をたどる過程で(1)を行なう。」に相当。
　(B)亀がいる位置を目標地点とする。
　　　→「(1)を行なう。」に相当。（(2)～(3)は行なわない。）

>>197
あなたが何を説明しろと言っているのかが分からなくなってきた
数学的な説明を求めているのか、エレアのゼノンに反論するための説明を求めているのか
前者であれば認める条件を提示して欲しい、現状無限後退になっている
なお説明3に対して不信感を抱いているのであれば、
そもそもアキレスは前回進んだ距離の常に半分しか進んでいないため、
永遠にある一点を超えることは無いのは事実
だがその説明の場合は、追い抜く地点までを説明しているだけであり、
結局は説明2と同様の事となる

後者であれば本来ここはお門違いだ、数学はアキレスと亀を用いてエレア派に反論していない
アキレスと亀を数学の問題として捉え、演繹に誤りがあるとしているだけだ

>>197
ただこの流れは何度もやっているんですよね。他の人も含めて。
今回も「それを超えて前進しなければ」に対して「どうぞ進んでください」との返答が予想される。
それで、同じ流れになるのは無駄だなあと思って回答しなかったのですが、それは不誠実でしたね。すみませんでした。

>>197　>>150
>もしそれで亀を抜かす瞬間の論理的な説明がつけられるのであれば。
「ループしているアキレスが亀を追い抜かす瞬間」というものはありません。
というのが答になるでしょうか。

>>196 に書いたように「前に進むこと」と「亀の位置を順々にたどること」は違うことです。

実際に亀を追い抜いたアキレスは、亀の位置をたどってさらにそれを超えて前に進みました。
一方で亀の位置をたどっているアキレスは、亀を追い抜くことができません。

追い抜けないはずのアキレスがなぜか追い抜いた、のではありません。
追い抜けないはずのアキレスは追い抜けない。追い抜けるアキレスは追い抜いた。
両者に違いがあるのです。

と考えています。

>あと私は「有限分割」という言葉を使用していないと思います。
あああ、すみません。訂正します。
>>196
>　(b)「有限分割」だとループしても追い抜くことができるから。
→　(b)時間が有限にしか分割できないと仮定した場合、ループしても追い抜くことができるから。

「有限分割」だと、下記2つで意味が全然違いますよね。そもそも省略し過ぎで意味が不明瞭だし。非常に良くない書き方をしてしまいました。すみません。
　・無限に分割できると仮定した中で有限に分割した。
　・有限にしか分割できないと仮定した中で有限に分割した。

数学のことで盛り上がっているところ悪いけど、
>>178
それでは証明になってないよ。
極小時間において亀が必ず位置を進めることを証明しないといけないからね。

ちなみに現実だと前に進むためにはステップがあって、極小時間だと足を上げるだけの場合が存在する。
まあ、そこらへんを考えると、前に言ったように量子論の考察もできるんだけどね。

なんか>>203だと誤解されそうだから追記、
でも、今話している話題からずれるから無視してくれてもいいです。

アキレスが亀の位置についたとき、必ず亀はその前にいる。というのは、
無限小という知覚出来ない、どうなっているのか「分からない」ものを自論の都合のいいように決め付けているから詭弁なんだよ。
特にゼノンの生きていた時代ならなおさらね。

>>200
>亀の位置まで進む必要は確かにあります。でもそれを超えて前進しなければ亀には追い付きません。

どうぞ超えてください。でもどうやって？

>>201

アキレスがどうやって現実に存在するはずの"ゼノンのループ"を
抜けているのかの説明を求めています。

>>204
>無限小という知覚出来ない、どうなっているのか「分からない」

分からない、ということを認めるのですね？

アキレスと亀の思考過程(以降、ゼノン課程と表現する)は次のように定式化できる
　時刻t_nにおいて、アキレスはx_{An}=x_{T(n-1)}、亀はx_{Tn}にいる
　時刻t_0=0において、アキレスはx_{A0}=0、亀はx_{T0}=1にいる
　アキレスは速さv_A、亀は速さv_Tでx軸方向に走る(ただし0<v_T<v_A)

アキレスがx_{A1}=x_{T0}=1に到達したとき、
　時刻はt_1=\frac{1}{v_A}
　亀はx_{T1}=1+\frac{v_T}{v_A}
アキレスがx_{A2}=x_{T1}=1+\frac{v_T}{v_A}に到達したとき、
　時刻はt_2=\frac{1}{v_A}+\frac{v_T}{v_A^2}
　亀はx_{T2}=1+\frac{v_T}{v_A}+\left(\frac{v_T}{v_A}\right)^2
：
：
アキレスがx_{An}=x_{T(n-1)}に到達したとき、
　時刻はt_n=\frac{1}{v_A}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{v_T}{v_A}\right)^k
　亀はx_{Tn}=\sum_{k=0}^n\left(\frac{v_T}{v_A}\right)^k

n\rightarrow\inftyにおいてt_n\rightarrow\frac{1}{v_A-v_T}

故に、ゼノン課程ではt\leq\lim_{n\rightarrow\infty}t_n=\frac{1}{v_A-v_T}におけるアキレスと亀の位置関係を表現できない
以上より、ゼノン課程を以て「アキレスは亀に永遠(t\rightarrow\inftyであっても)に追いつくことができない」を主張することはできない



数学的に真剣に書くならこんなところかね？

ミス失礼

誤：故に、ゼノン課程ではt\leq\lim_{n\rightarrow\infty}t_n=\frac{1}{v_A-v_T}におけるアキレスと亀の位置関係を表現できない
正：故に、ゼノン課程ではt\geq\lim_{n\rightarrow\infty}t_n=\frac{1}{v_A-v_T}におけるアキレスと亀の位置関係を表現できない

>>207
つまり「追いかけっこの終わりを示せない」と言ってるだけですよね。

でも現実には追いかけっこは終わります。
いったいどうやって？

>>201
>だがその説明の場合は、追い抜く地点までを説明しているだけであり、

だからその「追い抜く地点」がやってこないのが問題なんでしょうが