ニコニコ大百科

>>269
>>248をよく読んでください。
命題Bの定義は、次のように与えています。
B=「任意のnに対し‚ x{t(n)}<y{t(n)}」
どこにも「ゼノンの方法」という言葉は含まれていません。
その上で、Bという命題を定義した意図を説明する目的で
Bは「ゼノンの方法ではアキレスは亀を追い抜くことができない」に対応する命題であると述べています。
ここで、対応するとは「ゼノンの方法では…できない」という曖昧な命題を厳密にしたものがBであるという意味です。

>>270
アキレスが亀に追いつこうとすると、まずは亀の位置に進まねばなりません。
しかしその時亀は少し前に進んでしまっています。
さらにアキレスが前進するためにはさっき亀がいた位置に進まねばなりません。
しかしその時亀は少し前に進んでしまっています。

ということです。

>>271
つまりBは「ゼノンの方法」のことなんでしょうか？
それは現実にあるのですか？ないのですか？

>>272
実際にやると亀がある地点に居る時に亀ごとその地点を踏むので解消されますが……
(説明2の線が交わっている所)
数学として説明するとなると無限後退になっているので、どう説明した物か

cIym9jqOL4さんの説明を正しく理解するために
>>235から改めて検証したいと思います。

>矛盾とは、ある命題Pとその否定命題¬Pの真偽が一致してしまうこと

矛盾とはP=¬Pであると理解しました。

>ここで、命題A,Bを次のように定め、共に真であると仮定する
>A=「現実ではアキレスは亀を追い抜ける」
>B=「ゼノンの方法ではアキレスは亀を追い抜けない」

私の主張は「現実ではゼノンの方法でもアキレスは亀に追いつける」です。これをAと再定義します。
そしてAはP、Bは¬Pと理解しました。

>すると、def2RwfDHcの主張は「AとBは矛盾している」と表せる

私はAをP、Bを¬Pと理解しているのでPが真であり、¬Pも真であるのはP=¬Pであり矛盾の定義と合致します。

>AとBが矛盾しているためには¬A=Bであればよい

私はここから理解できないようです。

AとBが矛盾しているのはP=¬Pだからです。AはP、Bが¬Pですから¬A=Bとはつまり¬P=¬Pです。
¬P=¬Pは矛盾ではないので「AとBが矛盾しているためには¬A=Bであればよい」という説明が理解できませんでした。

ここの説明をまずお願いします。

>>272
色々と説明を考えていましたら、ひょっとしてと思ったのですが
ハンデを100としてアキレスが10進む間に亀は1進むとして
10経過するとアキレスが100の位置に、カメは110の位置に
1経過するとアキレスが110の位置に、亀は111の位置に
0.1経過でアキレスが111の位置に、亀は111.1の位置に
と考えられておられますか？

>>274
私の主張を言い換えると「アキレスは現実世界で無限級数の足し算を
実際に始めているのに、それが終るのはおかしい」です。

無限級数の足し算を実際にやれば終らないというのは否定できそうに
ありませんから、そこの攻略を目指すのではなく、アキレスは現実世界で
無限級数の足し算をやっているわけではないことを示せば
良いのではないでしょうか？

そうすれば私は論破されると思います。
（つまり>>245でFf4zkT9Hycさんが説明していることです）

>>276
すみません。また後日にしましょう。では。

結局、運動が存在すると仮定したから、逆に動かないっていう矛盾した結論になってしまうんだろうな。

>>276
それはゼノンのループと同じように見えるので
私の答えはYESです

>>280
数学というか、工学の論理としては
10経過するとアキレスが100の位置に、カメは110の位置に
1経過するとアキレスが110の位置に、亀は111の位置に
1経過するとアキレスが120の位置に、亀は112の位置に
これによりアキレスは111および112を通り越して亀を追い抜くとなります
アキレスの論理を無視しているかと思われるかもしれませんが、
現実の話であるならば工学で処理をしなければなりません
なぜなら数学だと、理想の点や線といった現実には存在しないもので計算しているためです

数学における点が理論上にしか実現できないように無限級数での最少は理論上でしか実現できません
(ちなみに現実にその領域に入ると量子論の話になるので、別の法則になります)
そのため工学は数学とのずれを誤差として許容し、誤差を計算に組み込みます
>>274で私が言った亀ごとその地点を踏むというのは、
工学として誤差分を含めて亀の通過点を踏襲する解決方法になります
計算上は無限の途中で前の半分を足すのではなく、それより大きな値を足す行為になります

何が言いたいかというと私の視点からすると
ゼノンは現実に追い抜けるという部分を工学で扱い、ループを数学で扱う
全く別の論理を同列に扱うという詭弁を使っていることになるということです
ただ私は情報工学なので、専門の方からすると誤りがあるかもしれませんが……

主題が数学的な話ではないことをあらかじめ宣言しておきます。
>>277
>>222に沿って論を進めてみましょう
>(1) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16･･･と続く無限級数を合計すると1になるのは数学的に明らかです。
実はここに誤解があります。数学的な説明をするには、数学的な公理を認めないといけません。
公理を認めることは「論理的な言い換え」の元を認めることと同じなので、無限級数の収束は
経験則的には明らかに思えますが、実は自明ではありません。

>(2) しかしアキレスが「本当に1になるのかな？」と思い実際に足し算を始めたとしても、
>1という答えにはたどり着けません。
その通りです。ゼノンの方法では、亀に追いつく時間をt=1とすると、t<1までしか議論できません。
(3)(4)に関してはこの議論に関わらないので省略します。

>(5)それにも関わらず現実世界でアキレスが亀に追いつく……
これはt→1で(1)の級数が1に収束することの言い換えになりますが、(1)と同様の理由で自明ではありません。

よって、この問題の本質は「なぜt<1でアキレスは亀に追いつけると我々は思ってしまうのか」
あるいは「無限級数の収束をなぜ経験則的に認めているか」という、認識の問題ということになります。
このあたりについては、『唯名論』あたりを調べてみるといいかもしれません。

>>282
二分割についてはどう考えてます？
百歩譲って、アキレスと亀の問題は「アキレスは亀に追いつけるまでを無限分割してるだけだ」っていう答えが認められたとしても（ちなみに私は認めていない、現実に追いつけることを論点先取しても答えになってない）
二分割のパラドックスのほうは「追いつける地点まで」みたいな目的設定ができないから、解けないと思いますが

※アキレスと亀はターン制かつマス区切りの世界にいます
※アキレスと亀は1ターンにどちらも1マス動けます
という但し書きがあれば完璧に追い付けない

>>ujev4kyZBh
前から思ってたけど、ゼノンのパラドックスの方の掲示板でできないの?
>>284
アキレスは亀よりも早く動けるから必ず1ターンに2マス以上動ける訳で、
その世界だとアキレスは無事亀に追いつくことになるな。

>>277
「無限だから終わらない」のは、無限の手間がかかるからでは？
そして無限のプロセスを経ることと、無限の手間がかかることは違うのでは？

「無限の彼方へさあ行くぞ！」という1つのプロセスに無限の手間がかかり終わらない
二分法やアキレスと亀では無限のプロセスだけど、手間の総和は有限で終わる
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16･･･を頭から計算すると、1回の計算でかかる手間が0へ収束しないから、手間の総和が発散し無限になり終わらない

>>281
もし現実世界が無限分割が存在しない世界であるならば、パラドックスは解消されます。

そういう解釈もアリではないでしょうか？この世の正体がどうなっているのかは誰にも分からないからです。

ただ、現実世界が無限分割可能な世界だったとするとアキレスは亀に追いつけないのか？という疑問は残りそうです。

>>282

(1)については、発言の意味が良くわかりませんでした。

公理とは理屈抜きに認めざるを得ないものだと私は認識しています。
そして数学の全ての理屈の土台には公理があるものだと理解しています。

つまり「全ての数学は経験則に過ぎない」という意味だとすると「そうですね」というほかありません。

(2)は、たどり着けないという点で、我々が合意していると理解しました。

(3)(4)についてはnRPn8aCo4Yさんがどう思っているのか分かりませんでした。

(5)については意味が分かりませんでした。(1)が自明でないにしても
現実世界でアキレスが亀に追いつくという事実は自明だからです。

つまり

>この問題の本質は「なぜt<1でアキレスは亀に追いつけると我々は思ってしまうのか」

という結論にいたるプロセスがよく理解できませんでした。すみません。

話は若干逸れるが、「無限級数でアキレスと亀のパラドックスは解ける」と言い出したのは誰なんだろう。
無限級数自体はカントール以前からあるわけだが、
カントール以前の無限論だと解けないような気がするんだけど。

>>273
> つまりBは「ゼノンの方法」のことなんでしょうか？
繰り返しますが、B=「任意のnに対し‚ x{t(n)}<y{t(n)}」です。
Bが「ゼノンの方法」なのかどうかは、あなたが考える「ゼノンの方法」がどのようなものかわからないため、現時点では返答できません。
あなたが考える「ゼノンの方法」とは数学的にはどのようなものなのか、>>248のモデルで説明してください。

>それは現実にあるのですか？ないのですか？
あなたが考える「現実」とは数学的にはどのようなものなのか、>>248のモデルで説明してください。

>>275
>>AとBが矛盾しているためには¬A=Bであればよい
>
>私はここから理解できないようです。
あなたがその文を理解できないのは、その文章におけるAをあなたが再定義したAであると考えているからです。
その文におけるAとは私が定義したAであり、あなたが再定義したAではありません。
加えて指摘すると、次の文は誤りです。
>矛盾とはP=¬Pであると理解しました。
矛盾とは、ある命題Pとその否定命題¬Pの真偽が一致してしまうことであり、P=¬Pではありません。

>>286
>無限のプロセスを経ることと、無限の手間がかかることは違うのでは？

具体的に何がどう違うのかを論理的に示してもらえないことには、なんとも答えられません。

>>290
>その文におけるAとは私が定義したAであり、あなたが再定義したAではありません。

ということはA=Bが私が矛盾の存在を主張する根拠ではそもそもありません。

>矛盾とは、ある命題Pとその否定命題¬Pの真偽が一致してしまうことであり、P=¬Pではありません。

これも解説を加えてもらえないことには意味がわかりません。

つまり、私はあなたの主張を理解できないので、何も回答しようがありません。

>>287
それは無知に訴える論証になり、確定できません
結局はアキレスと亀におけるゼノンの論法が詭弁だとなります
なお無限に分割が可能であっても、それ以上の値をもってすれば解決するのは変わらないので
マクロ視点では追いつける事に変わりは無いと思います

>>289
無限級数になることはわかっても、そこから解けなかったんじゃないかな？

>>293
すみません。詭弁だとする根拠が私にはわかりません。

>>292
>つまり、私はあなたの主張を理解できないので、何も回答しようがありません。
>>235については私が問題を定式化する以前に書き込んだものなので、
曖昧な部分(具体的には、「現実」や「ゼノンの方法」など)を含みます。
したがって、もしあなたが>>235が理解できないという場合は責任は私にあります。
その反省およびあなたとの意思疎通の基礎とするために、私は>>248において私の主張を厳密な形にして示しています。
現時点における私の主張は>>248のモデルに基づくものであり、それ以前のものは理解していただかなくて結構です。
(私が意図した>>235の内容は全て>>248に含まれています。)
また、私があなたに要求しているのは「矛盾が存在することの数学的証明」であって、これには私の主張への理解は必須ではありません。
あなたが私の主張を理解できるかできないかにかかわらず、あなたが矛盾の存在をすでに証明しているなら、その証明の提示は可能です。

>>295
すみません、数学的証明とは具体的に何をどうすれば良いのでしょうか？「数学的」の意味からして私には分かりません。

本当に私の回答を求めているならば、まずは一つ一つ、順を追って私に分かるように説明をしていただけないでしょうか？

そして私の理解を確認してから、次の説明に進んで下さい。

私の答えを本当に聞きたいのであれば、まずは>>235を私に分かるように噛み砕いて説明しなおしてもらえますか？

矛盾の定義の段階で既に理解できません。
書いていただいたら、一つ一つ意味を確認したいと思います。

>>296
では、あなたの理解を確認します。
あなたは>>248の内容をどの部分まで理解していますか?

もうひとつ質問です。
あなたは>>274で
A=「現実ではゼノンの方法でもアキレスは亀に追いつける」
と
B=「ゼノンの方法ではアキレスは亀を追い抜ける」
が矛盾するとしています。
これは、Bのアキレスと亀は現実の存在ではないということですか?

>>294
>そういう解釈もアリではないでしょうか？
仮定としては構わないのですが、わからないのだから事実であるとすると
「神の実在は誰にもわからない、だから神はいる」
とするのと何ら変わりません
無限分割が現実に可能かどうかは不明ですし、極小世界がどのような法則になっているかもわからないので
無限分割した世界をアキレスが追いつけるかどうかは「わからない」のです
わからない世界をゼノンは「現実には追いつける」としているため、
都合よく決めつけているということになり詭弁となります

>>298
>>248以前に>>235の矛盾の定義の段階で私の理解は止まっています。特にP＝￢Pは矛盾ではないというのが分かりません。

>B=「ゼノンの方法ではアキレスは亀を追い抜ける」

いえ。私は
A=「現実ではゼノンの方法でもアキレスは亀に追いつける」
B=「論理的にはゼノンの方法ではアキレスは亀を追い抜けないはずだ」
と主張します。