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中学レベルの初等幾何でも、やや面倒ですが証明はできますよ
これ見るとヘロンも初等幾何で証明しているみたいですし
http://yosshy.sansu.org/heron2.htm

>>1
ご指摘ありがとうございます。
ググると初等幾何による証明もいくつかヒットするんですね。
せっかくなので描いてみました。
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いくらか修正。
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Sって書くと面積とかぶるね。
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四角形の面積のも便利だと思う。
ブレイドシュナイダーって格好良いよね。