ニコニコ大百科

>>240
全くの別問題であっても同じ考え方の上に立っている（思考ルールは同じ）だから

ようするに「割り算分からないなら、先に掛け算覚えよう！」と同じようなことを言っている

とりあえず「全ての素数の積」は自然数同士の積なんだから結果は自然数のはず！と主張するなら記事の4にある各論拠が間違ってる事を証明してみせればいいんじゃね？
特に三番目の背理法の奴は無限大の定義云々とか関係なく問題の解が自然数にならない（偶奇を問えない）事を主張してるし

ペアノ算術で加法と乗法を定義するときに数学的帰納法を用いている以上有限個の和や積しか定義されていないということになる
なので素数が無限個ある以上そもそも自然数の範囲では全ての素数の積というものが定義できないということになる
これをペアノ算術の範囲を超えて極限として考えるならば全ての素数の積は無限大に発散する、と解釈しているに過ぎない
上にある通り算術の超準モデル等のように全ての素数の積というものに意味をもたせられる体系というのは存在するが、それらの体系の中でも全ての素数の積は自然数には含まれないということは変わらないので偶数や奇数を自然数の部分集合と考えている限り全ての素数の積は偶数でも奇数でもないということになる
その上で偶数や奇数の定義の方を拡張したいというなら一般的でない言葉の使い方をしている以上そのことを明示的にした上でその拡張した定義が数学的厳密性を持っていなければならない、ということである

数多の数学界の偉大な先駆者達も無限大（または無限小、極限）の取り扱いを誤り、正しくない結論に誘われたという。
そんな繊細で慎重な取り扱いを要する「曰く付き」の無限大を安易に頼り過ぎている、っていう指摘は否定されるものではない。

そこで、無限大の概念を持ち出さずに考えてみる。

「全ての素数の積」なる自然数が存在すると仮定して、それをQとする。
で、素数の最大値をPmaxとおく。
つまり Q=2*3*5*...*Pmax
Pmaxの具体的な値が与えられれば、自然数Qを求めることができる。Pmaxまでの途中の素数はすべてエラトステネスの篩なり何なりで得られるので。

ところが、知ってのとおり素数は無数に存在するわけで、Pmaxなる自然数は存在しない。
故にQの定義により、全ての素数の積Qは存在しない。
結局、存在しない物が奇数であるか偶数であるかを問う設問がまずい。このアプローチからは5.解答不能

ホンマや、>>242の言う通り全部記事の4.どちらでもないに書いてあったわ。細かく書くとこんな感じでいいのかな？

全ての素数の積 P=2×3×5×7×11×… を自然数と仮定する。
P+1は素数である。(P+1を全ての素数で割っていっても、必ず1/(素数)が残って割り切れない)
新たに生成された素数P+1は、全ての素数の積Pに含まれない。(含まれるとするとP=P×(P+1)、P=0になる)
Pに含まれない素数が存在するので、Pは全ての素数の積ではない。これは矛盾である。
よって仮定は間違っており、全ての素数の積Pは自然数ではない。

紀元前レベルの数学でも全ての素数の積が自然数でないことは示せるもんやな

ちなみに>>245の証明の変形で>>244が使ってる素数が無限に存在する事の証明もできる
（素数の記事にあるやつね）

結局コロプラはまだこの問題出し続けてるんか？

>>236
>>234を用いて全ての素数の積を偶数というのは結論先取り論法というトートロジーであり有り体に言うと詭弁なので無理

>>240
自明な結論にたどり着くのを拒む異物の話だろ　

>>241
その「思考ルール」を取るそれぞれ並べて【「同じである」と証明】しろよ、そこまで知ってるんだろ？

>>244
＞ 「全ての素数の積」なる自然数が存在すると仮定して、それをQとする。
ふむ、コレは解る。

＞ で、素数の最大値をPmaxとおく。
＞ つまり Q=2*3*5*...*Pmax
ナンデ？
ソレ、「素数は無限に存在するから最大の素数は定義できない」という部分から逆算して、
単にQの定義をダメにする為だけに作った立式、つまり単なる詭弁になってないか。
まさに>>249が指摘するところのトートロジーやな。

>>245
ソレも「P+1は素数である」に例外が存在する、つまり一般に成り立たないから詭弁だよ。

詭弁だ詭弁だ言うだけじゃなくてどこが間違ってんのか数学的にちゃんと証明しろよ
例外が存在するって言うなら反例一つ上げるだけで済むんだから

>>251
例外はないんだよ

Pは全ての素数の合成数であり、いかなる素数で割っても割り切れる
それに1を足してるんだから、いかなる素数で割っても1/(素数)が残る

Pを全ての素数の積とすると、P+1は常に素数となる

ああ…やっぱり単に数学がわかってないだけの人やな
反相対性理論者と同じで結論が先にあってそこで思考停止してるから何言っても無理だわ

Pは「全ての素数の積、かつ自然数である」と「仮定」したんや
このPに1を足したP+1が素数になるってことが理解できないなら君に数学を語るの不可能や
まず素数の定義から見直してきなさい

＞＞ で、素数の最大値をPmaxとおく。
＞＞ つまり Q=2*3*5*...*Pmax
＞ナンデ？
＞ソレ、「素数は無限に存在するから最大の素数は定義できない」という部分から逆算して、

そんな逆算とかトートロジーとか小難しいことを考えずに、素直に捉えればいいんじゃないかな。
「全ての素数」というからには、それらを列挙し尽くすのが一番素朴な考え方だと思うんだ。
で、安直に小さい順で並べて掛けた。最大値はわからないからとりあえず記号で置き換えた。

そんだけ。すげーシンプル。それを定式化してみただけ。
結論ありきとかそんなつもりは無かったんだが。

同じ理屈で行くと「全ての偶数の積は偶数である」も「全ての奇数の積は奇数である」も「全ての」が定義できないから解答不能ってことか

>>254は>>251に向けてね
>>253が遥かに分かりやすく解説してくれてたわ

もし>>245に例外があるとしたら、既存の素数の概念や合成数の概念に一石を投じる大いなる発想、発見になり得る

つーか>>244と>>245を並べたら互いに矛盾するやん？
全ての素数の積：Qとして、
少ない側からi個目の素数：Iiとし、
1個目の素数：I1＝2、2個目の素数：I2＝3、、、と当てはめる。
n個目までの素数の積：Qn≡I1×I2×...×Inにおいて、
Qn ＋1がInまでの素数では割り切れないことは証明可能だが、
m＞nである素数Imでは割り切れる可能性がある。
さて、Q＝Qn (n→∞)、便宜的にQ∞と表記するとして、
Q＝I1×I2×...×Ij (j→∞)
において、Q＋1が素数であると確定可能か？
有限なQnで不確定なのに無限拡張したQでは確定できるとしたら、ソレは矛盾している。
つまり、Q＋1が素数であるという点に論拠を置く>>244や>>245は矛盾しており証明できていない。

ぶっちゃけ矛盾証明同士が矛盾してても問題ないのよ

そもそも前提が間違ってることを証明しただけだからな
そりゃ矛盾もするし矛盾したことを主張してるのが>>259

>>253
何だろう、無限数列には数学的帰納法が使えない前提ではなかったのか？

>>258
つ >>66

むしろ二つの論で矛盾である、となったらダブルで矛盾を導き出せて、背理法的にはダブルでその命題が矛盾であると証明できる事になって、全く問題ないどころか別解になる

これもう背理法すらわかってないかもしれん

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>>262
>>245>>253の証明は無限数列も数学的帰納法も使ってないよ

Qは自然数と仮定されたんだよね？ならQ+1も自然数で、これは2よりも大きい訳だよね？だから素数or合成数のどちらかにはなるでしょ
そんでもって、どんな素数を持ってきても割り切れないんだから、Q+1は素数と確定できるんちゃうの？
それとも>>259はQは自然数と仮定される事自体がおかしいって主張しとるんかい？その主張がおかしい事を示すためにわざわざ仮定して矛盾を示してるんだと思うんだけど

つーかちょっと待て、「全ての素数の積Qは自然数である」に対して
「Q＋1は素数である」って言い出す時点で循環論法に持っていく手口では？
Q＋1が自然数であることは導出できるけど、Q＋1が素数であると決め打ちする必要ある？

削除しました

>>265
ソレについて、>>259の
＞ Qn ＋1がInまでの素数では割り切れないことは証明可能だが、
＞ m＞nである素数Imでは割り切れる可能性がある。
と言ってることは同じだよね？