ニコニコ大百科

N^2と2^NでNを無限に飛ばすとN^2 < 2^Nってなるから無限にもいろいろ種類があり一つに定義されていない。
偶数奇数を語る前にこの問題における無限について定義付けをしないといけないのかな？
直感的には偶数なんだが、見方や考え方によって違う結論に至るということは無限という言葉で表記ゆれが
起きているのではないかと思った。

そもそもが「すべての(≒無限)」なんていうめちゃくちゃな概念を扱ってるから、答えがめちゃくちゃになるのは当たり前
その中でなんとか「答え」を出すために色々と系を設定してみるわけですが、その中であなたはどれが1番矛盾が少ないと思いますか？

...っていうのが色々と解釈が載ってるこのページの論旨だって風に理解してるんだけど合ってるかな

>>512
元はQMAが「2，偶数である」と間違った答えを設定した問題だった
→問題の条件設定が不十分で、定義等によって答えが変わってしまう問題だと思われていた
→実は数学の問題としては何ら間違った部分はなく「4，どちらでもない」と証明できる問題だった
という流れ、この問題はちゃんと答えが出る数学の問題で、答えと証明もページ内に書いてある。

尚且つ、この証明は簡潔で高校数学の知識で理解できるのに「背理法」「無限の持つ性質」「偶奇以前の問題に持っていく」「答えが何であるかは解らないが少なくとも偶数や奇数ではない」みたいなとにかく直観に反する概念のオンパレードだから、その辺もこのページの見どころ

2^{n_0}3^{n_1}5^{n_2}…（n_iは非負整数または∞）という形式的無限積全体の集合のことを超自然数と言うんだけど、超自然数の無限積は自然に定義できて、しかも素数全ての無限積は（2の指数が1以上であるという意味で）偶数になる

なので定義次第ですね

>>514
それは超自然数であって(通常の)自然数ではないから「偶数(奇数)は2で割り切れる（割り切れない）『整数』である」という定義から飛び出してしまう。

現時点で『超自然数の偶奇についての定義』みたいなものが既にありでもしない限り(というか、無限大である時点で既存の偶数や奇数が当然持つ性質を一部欠いているわけであるから、同じものと定義できないが）。
クイズであるこれに対して、その場で勝手に新たな定義を作って回答することは不適。

クイズとしてどちらでもないを正解とすべきっていうのに異論はないよ
ただ数学の話題としてそれで済ませるのはつまらないじゃん？

2の指数が1以上の超自然数を超自然数における偶数と定義するのは自然でしょ？
数学ではそういう体系も考えられるよ、面白くない？って話

それに対して通常の四則演算が通用しない時点で「偶数」「奇数」に押し込むことはできないかと。
「偶数に1を足せば奇数になる」が通用しない時点で偶数奇数の加減側の規則がほぼ全滅するし、「そもそも整数でない」から整数であることを前提とした諸々も崩壊する。

そんな偶数奇数が持つべき性質を悉く欠いたものを、偶数奇数とすることのどこが自然と言えようか。

あくまで自然数を積構造も含めて埋め込めるってだけで和は多分無理だし、環構造が入ってないとダメって思うならそうなる。実際偶数とか奇数って言い方がされるわけではないしね
ただある超自然数が他の超自然数で割り切れる、っていう数学的定義はあるし実際に使われてる。なので「全ての素数の積は2で割り切れる」って主張なら（超自然数の意味では）完全に正しい

普通の偶数奇数は自然数の概念だから、超自然数で定義したものは「超偶数」「超奇数」として自然数の偶数奇数とは一致しない別の概念になるのでは？より上位の定義として普通の偶数奇数を含みはするだろうけど

「超偶数」である超自然数が「偶数」であるとは限らないのでは？ってことです

その通りで通常の意味での偶数ではない

もう一つ例を挙げてみると、整数環Zを副有限完備化したZハットという環が取れる
これは環で和や積を持つので、2で割り切れるとか2の倍数と1の和で表せるとかの概念も自然に考えられる
そして、ここでは無限積を有限積の極限と考えると、全ての正整数の積はなんと0に収束することが言えてしまうよ
残念ながら全ての素数の積はどこにも収束しないけどね

>>521
それなら>>514の（だから定義次第）は取り下げなければならないし、初めからそのつもりで言ってたなら>>514を言ったことは間違いってことになる

正直な所、難しい理論らしきものは知っていてもそれを正しく使うために必要な論理的な思考が出来てない感じに見える
それこそ、『自然に』では正しい結論が出ない、証明すると寧ろ不自然な結果が正しいと解る、ってことがこの記事なんだから

よしんば標準的な偶数以外を偶数と呼ぶのはおかしいという立場に立つとしても、少なくとも全ての正整数の積が定義次第で0つまり偶数になることもあるのは認めてもらわないといけない
それは数学の厳然たる事実なので

アキレスが亀に追いつけないのも数学の厳然たる事実